Номер 5, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

36. Решение неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 72.

Условие.

5. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{\sqrt{11-4a}}{a-2}$?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы данное выражение имело смысл, необходимо выполнение двух условий, которые определяют его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Условие для подкоренного выражения
Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным (то есть больше или равно нулю), так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не определено в множестве действительных чисел.
$11 - 4a \ge 0$

2. Условие для знаменателя дроби
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена.
$a - 2 \neq 0$

Для нахождения всех значений переменной a, при которых выражение имеет смысл, необходимо решить систему из этих двух условий:
$\begin{cases} 11 - 4a \ge 0 \\ a - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:
$11 - 4a \ge 0$
Перенесем 11 в правую часть неравенства, изменив знак:
$-4a \ge -11$
Разделим обе части неравенства на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le \frac{-11}{-4}$
$a \le \frac{11}{4}$
Для удобства представим дробь в виде десятичного числа:
$a \le 2.75$

Теперь решим второе условие:
$a - 2 \neq 0$
$a \neq 2$

Объединим полученные результаты. Переменная a должна удовлетворять обоим условиям одновременно: $a \le 2.75$ и $a \neq 2$. Это означает, что подходят все числа, которые меньше или равны 2.75, за исключением числа 2.
На числовой оси это будет промежуток, ограниченный справа точкой 2.75 (включительно), с "выколотой" точкой 2.

Таким образом, множество значений переменной a, при которых выражение имеет смысл, представляет собой объединение двух интервалов.
Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 2.75]$