Номер 10, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

35. Числовые промежутки. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 10, страница 70.

Условие.

10. Укажите все целые числа, принадлежащие промежутку $[-\sqrt{11}; \sqrt{3}+\sqrt{7}]$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти все целые числа, принадлежащие промежутку $[-\sqrt{11}; \sqrt{3}+\sqrt{7}]$, необходимо оценить его левую и правую границы.

1. Оценим левую границу промежутка: $-\sqrt{11}$.
Найдем два ближайших к 11 целых числа, являющихся точными квадратами. Это 9 и 16.
Так как $9 < 11 < 16$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, что равносильно $3 < \sqrt{11} < 4$.
Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-4 < -\sqrt{11} < -3$.
Таким образом, левая граница промежутка $-\sqrt{11}$ находится между целыми числами -4 и -3.

2. Оценим правую границу промежутка: $\sqrt{3}+\sqrt{7}$.
Сначала оценим каждое слагаемое по отдельности:
Для $\sqrt{3}$: $1 < 3 < 4$, значит $1 < \sqrt{3} < 2$.
Для $\sqrt{7}$: $4 < 7 < 9$, значит $2 < \sqrt{7} < 3$.
Сложив почленно эти два неравенства, получим:
$1 + 2 < \sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 + 3$
$3 < \sqrt{3} + \sqrt{7} < 5$
Чтобы уточнить, между какими последовательными целыми числами находится значение $\sqrt{3}+\sqrt{7}$, сравним его с числом 4. Для этого возведем в квадрат $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ и 4.
$(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$.
$4^2 = 16$.
Сравним $10 + 2\sqrt{21}$ и 16. Это равносильно сравнению $2\sqrt{21}$ и $16-10=6$, или сравнению $\sqrt{21}$ и 3.
Так как $21 > 9$, то $\sqrt{21} > \sqrt{9}$, то есть $\sqrt{21} > 3$.
Следовательно, $10 + 2\sqrt{21} > 16$, а значит $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 > 4^2$, и $\sqrt{3}+\sqrt{7} > 4$.
Таким образом, мы уточнили, что $4 < \sqrt{3}+\sqrt{7} < 5$.

3. Найдем целые числа.
Мы ищем целые числа $n$, которые удовлетворяют неравенству $-\sqrt{11} \le n \le \sqrt{3}+\sqrt{7}$.
Из наших оценок следует, что $-4 < -\sqrt{11} < -3$ и $4 < \sqrt{3}+\sqrt{7} < 5$.
Значит, мы ищем целые числа на отрезке, который начинается с числа между -4 и -3 и заканчивается числом между 4 и 5.
Наименьшее целое число, которое больше или равно $-\sqrt{11}$ (приблизительно -3,32), это -3.
Наибольшее целое число, которое меньше или равно $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ (приблизительно 4,38), это 4.
Таким образом, искомые целые числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.