Номер 6, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

35. Числовые промежутки. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 6, страница 69.

Условие.

6. Изобразите на координатной прямой промежутки и укажите их объединение:

$[-1; 2] \cup [-2; 3] = [-2; 3].$

а) $[-3; 4] \cup [-2; 1] =$

б) $(-\infty; 2] \cup [1; +\infty) =$

в) $(-\infty; 3] \cup [2; 4] =$

г) $(-\infty; 0) \cup [-1; 1] =$

Решение.

Решение 2.

Объединением двух или нескольких числовых промежутков называется множество, состоящее из всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Знак объединения — $\cup$. Для нахождения объединения промежутков удобно изобразить их на одной координатной прямой.

а) $[-3; 4] \cup [-2; 1]$

Первый промежуток $[-3; 4]$ включает все действительные числа от -3 до 4, включая концы. Второй промежуток $[-2; 1]$ включает все действительные числа от -2 до 1, включая концы.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Промежуток $[-3; 4]$ показан синим цветом, а промежуток $[-2; 1]$ — зелёным.

Как видно на рисунке, второй промежуток $[-2; 1]$ полностью содержится внутри первого промежутка $[-3; 4]$. Объединение в таком случае будет равно большему промежутку, который охватывает все числа обоих множеств. Таким образом, итоговый промежуток — это все числа от -3 до 4 включительно.

Ответ: $[-3; 4]$.

б) $(-\infty; 2] \cup [1; +\infty)$

Первый промежуток $(-\infty; 2]$ — это луч, включающий все числа, меньшие или равные 2. Второй промежуток $[1; +\infty)$ — это луч, включающий все числа, большие или равные 1.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; 2]$ показан синим цветом, а промежуток $[1; +\infty)$ — зелёным.

Первый промежуток покрывает всю числовую ось слева до точки 2 включительно. Второй промежуток покрывает всю ось справа, начиная с точки 1 включительно. Поскольку промежутки пересекаются на отрезке $[1; 2]$, их объединение покроет всю числовую прямую без каких-либо разрывов.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

в) $(-\infty; 3] \cup [2; 4]$

Первый промежуток $(-\infty; 3]$ включает все числа, меньшие или равные 3. Второй промежуток $[2; 4]$ включает все числа от 2 до 4, включая концы.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; 3]$ показан синим цветом, а промежуток $[2; 4]$ — зелёным.

Первый промежуток покрывает все числа до 3 включительно. Второй промежуток начинается с 2 (что уже включено в первый промежуток) и продолжается до 4. Таким образом, объединение этих промежутков начинается в $-\infty$ и заканчивается в точке 4, включая её.

Ответ: $(-\infty; 4]$.

г) $(-\infty; 0) \cup [-1; 1]$

Первый промежуток $(-\infty; 0)$ — это открытый луч, включающий все числа, строго меньшие 0. Точка 0 не принадлежит этому промежутку. Второй промежуток $[-1; 1]$ включает все числа от -1 до 1, включая концы.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; 0)$ показан синим цветом, а промежуток $[-1; 1]$ — зелёным. Пустой кружок на конце синего отрезка означает, что точка 0 не включена.

Первый промежуток покрывает все числа левее 0. Второй промежуток покрывает числа от -1 до 1. Точка 0, которая не входит в первый промежуток, входит во второй. Объединяя эти два множества, мы получаем все числа от $-\infty$ до 1 включительно.

Ответ: $(-\infty; 1]$.