Номер 7, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

35. Числовые промежутки. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 7, страница 70.

Условие.

7. Подчеркните числа, принадлежащие интервалу $(-3,5; 7)$:

-3,6; $-2\sqrt{5}$; $\sqrt{15}$; $10\sqrt{3}$; $-\sqrt{5}$; $6\sqrt{2}$; $2\sqrt{11}$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат интервалу $(-3,5; 7)$, необходимо для каждого числа $x$ проверить, выполняется ли двойное неравенство $-3,5 < x < 7$.

Для удобства сравнения чисел, содержащих квадратные корни, будем сравнивать их квадраты с квадратами границ интервала. Квадрат правой границы: $7^2 = 49$. Квадрат модуля левой границы: $(-3,5)^2 = 3,5^2 = 12,25$.

Проверка числа -3,6

Сравниваем число $-3,6$ с левой границей интервала $-3,5$. Так как $-3,6 < -3,5$, это число находится левее интервала.

Ответ: число $-3,6$ не принадлежит интервалу $(-3,5; 7)$.

Проверка числа $-2\sqrt{5}$

Это отрицательное число. Сравним его с левой границей $-3,5$. Для этого сравним их модули $2\sqrt{5}$ и $3,5$. Возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$3,5^2 = 12,25$

Поскольку $20 > 12,25$, то $2\sqrt{5} > 3,5$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-2\sqrt{5} < -3,5$. Следовательно, число находится левее интервала.

Ответ: число $-2\sqrt{5}$ не принадлежит интервалу $(-3,5; 7)$.

Проверка числа $\sqrt{15}$

Это положительное число, поэтому оно точно больше левой границы $-3,5$. Сравним его с правой границей $7$. Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{15})^2 = 15$

$7^2 = 49$

Так как $15 < 49$, то $\sqrt{15} < 7$. Условие $-3,5 < \sqrt{15} < 7$ выполняется.

Ответ: число $\sqrt{15}$ принадлежит интервалу $(-3,5; 7)$.

Проверка числа $10\sqrt{3}$

Это положительное число. Сравним его с правой границей $7$. Возведем оба числа в квадрат:

$(10\sqrt{3})^2 = 100 \cdot 3 = 300$

$7^2 = 49$

Так как $300 > 49$, то $10\sqrt{3} > 7$. Число находится правее интервала.

Ответ: число $10\sqrt{3}$ не принадлежит интервалу $(-3,5; 7)$.

Проверка числа $-\sqrt{5}$

Это отрицательное число, поэтому оно точно меньше правой границы $7$. Сравним его с левой границей $-3,5$. Сравним их модули $\sqrt{5}$ и $3,5$. Возведем их в квадрат:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$3,5^2 = 12,25$

Так как $5 < 12,25$, то $\sqrt{5} < 3,5$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется: $-\sqrt{5} > -3,5$. Условие $-3,5 < -\sqrt{5} < 7$ выполняется.

Ответ: число $-\sqrt{5}$ принадлежит интервалу $(-3,5; 7)$.

Проверка числа $6\sqrt{2}$

Это положительное число. Сравним его с правой границей $7$. Возведем оба числа в квадрат:

$(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$

$7^2 = 49$

Так как $72 > 49$, то $6\sqrt{2} > 7$. Число находится правее интервала.

Ответ: число $6\sqrt{2}$ не принадлежит интервалу $(-3,5; 7)$.

Проверка числа $2\sqrt{11}$

Это положительное число. Сравним его с правой границей $7$. Возведем оба числа в квадрат:

$(2\sqrt{11})^2 = 4 \cdot 11 = 44$

$7^2 = 49$

Так как $44 < 49$, то $2\sqrt{11} < 7$. Условие $-3,5 < 2\sqrt{11} < 7$ выполняется.

Ответ: число $2\sqrt{11}$ принадлежит интервалу $(-3,5; 7)$.

---

Таким образом, числа, принадлежащие интервалу $(-3,5; 7)$, это: $\sqrt{15}$, $-\sqrt{5}$, $2\sqrt{11}$.