Номер 7, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Функция. Область определения и множество значений функций. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 7, страница 86.

Условие.

7. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = 5x + 11$

б) $y = 3x^2 + x - 4$

в) $y = \frac{4x}{1,5 - x}$

г) $y = \sqrt{x+1}$

д) $y = \frac{2}{0,5 + x^2}$

е) $y = \frac{x-2}{(x+2)(x-3)}$

Решение.

Решение 2.

а) Функция $y = 5x + 11$ является линейной. Выражение $5x + 11$ определено для любых значений переменной $x$, так как нет операций деления на переменную или извлечения корня. Следовательно, область определения функции - все действительные числа.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = 3x^2 + x - 4$ является квадратичной (многочлен). Выражение $3x^2 + x - 4$ определено для любых значений переменной $x$. Ограничений на область определения нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{4x}{1,5 - x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции состоит из всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключим их.
$1,5 - x = 0$
$x = 1,5$
Таким образом, область определения функции - это все действительные числа, кроме $1,5$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

г) Функция $y = \sqrt{x+1}$ содержит выражение с переменной под знаком квадратного корня. Область определения такой функции состоит из всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).
Решим неравенство:
$x + 1 \ge 0$
$x \ge -1$
Следовательно, область определения функции - это все числа, большие или равные $-1$.
Ответ: $D(y) = [-1; +\infty)$.

д) Функция $y = \frac{2}{0,5 + x^2}$ является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $0,5 + x^2$ обращаться в ноль.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.
Тогда $0,5 + x^2 \ge 0,5$.
Поскольку знаменатель всегда больше или равен $0,5$ и никогда не равен нулю, ограничений на область определения нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

е) Функция $y = \frac{x-2}{(x+2)(x-3)}$ является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$(x+2)(x-3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x+2 = 0 \quad$ или $\quad x-3 = 0$
$x = -2 \quad$ или $\quad x = 3$
Эти два значения, $x = -2$ и $x = 3$, необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 3) \cup (3; +\infty)$.