Номер 10, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Функция. Область определения и множество значений функций. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 10, страница 88.

Условие.

10. Найдите множество значений функции:

a) $f(x) = 3x - 4$, где $2 \leq x \leq 5$

б) $f(x) = -2x + 3,5$, где $-3 \leq x \leq 7$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана линейная функция $f(x) = 3x - 4$ на отрезке $x \in [2, 5]$.
Чтобы найти множество значений (или область значений) этой функции на заданном отрезке, нужно определить её поведение. Угловой коэффициент функции $k=3$. Так как $k > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[2, 5]$.
Это означает, что наименьшее значение функция будет принимать на левом конце отрезка (при наименьшем $x$), а наибольшее — на правом конце (при наибольшем $x$).

Вычислим значения функции на границах отрезка:

• Минимальное значение (при $x=2$):
  $f(2) = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$
• Максимальное значение (при $x=5$):
  $f(5) = 3 \cdot 5 - 4 = 15 - 4 = 11$

Поскольку функция непрерывна и возрастает, она принимает все значения между $f(2)$ и $f(5)$. Таким образом, множество значений функции на отрезке $[2, 5]$ — это отрезок $[2, 11]$.

Ответ: $E(f) = [2, 11]$.

б)

Дана линейная функция $f(x) = -2x + 3,5$ на отрезке $x \in [-3, 7]$.
Угловой коэффициент этой функции $k=-2$. Так как $k < 0$, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[-3, 7]$.
Это означает, что наибольшее значение функция будет принимать на левом конце отрезка (при наименьшем $x$), а наименьшее — на правом конце (при наибольшем $x$).

Вычислим значения функции на границах отрезка:

• Наибольшее значение (при $x=-3$):
  $f(-3) = -2 \cdot (-3) + 3,5 = 6 + 3,5 = 9,5$
• Наименьшее значение (при $x=7$):
  $f(7) = -2 \cdot 7 + 3,5 = -14 + 3,5 = -10,5$

Поскольку функция непрерывна и убывает, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями. Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-3, 7]$ — это отрезок $[-10,5; 9,5]$.

Ответ: $E(f) = [-10,5; 9,5]$.