Номер 15, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Функция. Область определения и множество значений функций. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 15, страница 91.

Условие.

15. Функция $\varphi(x)$ задана формулой $\varphi(x) = x^2 - 4x + 1$. Вычислите:

a) $\varphi(1+\sqrt{2})-\varphi(1-\sqrt{2})=$

б) $\varphi\left(\frac{1}{2+\sqrt{5}}\right)+\varphi\left(\frac{1}{2-\sqrt{5}}\right)=$

Решение.

Решение 2.

Дана функция $\phi(x) = x^2 - 4x + 1$.

а) Вычислим значение выражения $\phi(1 + \sqrt{2}) - \phi(1 - \sqrt{2})$.

Для этого сначала найдем значение функции для каждого из аргументов.

1. Вычислим $\phi(1 + \sqrt{2})$:

$\phi(1 + \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})^2 - 4(1 + \sqrt{2}) + 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 4 - 4\sqrt{2} + 1 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 4 - 4\sqrt{2} + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(3 + 2\sqrt{2}) - 4 - 4\sqrt{2} + 1 = (3 - 4 + 1) + (2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) = 0 - 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

2. Вычислим $\phi(1 - \sqrt{2})$:

$\phi(1 - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{2})^2 - 4(1 - \sqrt{2}) + 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 4 + 4\sqrt{2} + 1 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 4 + 4\sqrt{2} + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(3 - 2\sqrt{2}) - 4 + 4\sqrt{2} + 1 = (3 - 4 + 1) + (-2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 0 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

3. Теперь найдем разность полученных значений:

$\phi(1 + \sqrt{2}) - \phi(1 - \sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - (2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$

Ответ: $-4\sqrt{2}$

б) Вычислим значение выражения $\phi\left(\frac{1}{2 + \sqrt{5}}\right) + \phi\left(\frac{1}{2 - \sqrt{5}}\right)$.

Сначала упростим аргументы функции, избавившись от иррациональности в знаменателе.

1. Упростим первый аргумент:

$\frac{1}{2 + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - 2$

2. Упростим второй аргумент:

$\frac{1}{2 - \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{2 + \sqrt{5}}{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 + \sqrt{5}}{-1} = -2 - \sqrt{5}$

Теперь задача сводится к вычислению суммы $\phi(\sqrt{5} - 2) + \phi(-2 - \sqrt{5})$.

3. Вычислим $\phi(\sqrt{5} - 2)$:

$\phi(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5} - 2)^2 - 4(\sqrt{5} - 2) + 1$

$= ((\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2) - 4\sqrt{5} + 8 + 1 = (5 - 4\sqrt{5} + 4) - 4\sqrt{5} + 9$

$= 9 - 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} + 9 = 18 - 8\sqrt{5}$

4. Вычислим $\phi(-2 - \sqrt{5})$:

$\phi(-2 - \sqrt{5}) = (-2 - \sqrt{5})^2 - 4(-2 - \sqrt{5}) + 1$

$= ((-(2 + \sqrt{5})))^2 + 8 + 4\sqrt{5} + 1 = (2 + \sqrt{5})^2 + 9 + 4\sqrt{5}$

$= (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) + 9 + 4\sqrt{5} = (4 + 4\sqrt{5} + 5) + 9 + 4\sqrt{5}$

$= 9 + 4\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5} = 18 + 8\sqrt{5}$

5. Найдем сумму полученных значений:

$\phi(\sqrt{5} - 2) + \phi(-2 - \sqrt{5}) = (18 - 8\sqrt{5}) + (18 + 8\sqrt{5}) = 18 - 8\sqrt{5} + 18 + 8\sqrt{5} = 36$

Ответ: $36$