Номер 9, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Функция. Область определения и множество значений функций. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 9, страница 88.

Условие.

9. Найдите область определения функции и постройте её график:

r) биссектрисам II и IV

а) $y = \frac{x^2 - 4}{4 + 2x}$

6. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$, заданной на отрезке $[-6; 7]$. Используя график, найдите:

а) $f(-2) = $

$f(1) = $

б) $y = \frac{3x + 6}{x^2 + 2x}$

б) $f(x)=2$ при $x=$

$f(x)=6$ при $x=$

$f(x)=0$ при $x=$

Решение.

Решение 2.

a) $y = \frac{x^2 - 4}{4 + 2x}$

1. Найдем область определения функции.

Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$4 + 2x = 0$

$2x = -4$

$x = -2$

Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме $x = -2$.

$D(y): x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$

2. Упростим выражение для функции.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (разность квадратов).

Знаменатель: $4 + 2x = 2(2+x) = 2(x+2)$.

Подставим разложенные выражения в функцию:

$y = \frac{(x-2)(x+2)}{2(x+2)}$

При $x \neq -2$ мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = \frac{x-2}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x - 1$

3. Построим график функции.

График функции $y = \frac{1}{2}x - 1$ — это прямая линия. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = -2$, на графике в этой точке будет "выколотая" точка (точка устранимого разрыва).

Найдем координаты этой выколотой точки, подставив $x = -2$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = \frac{1}{2}(-2) - 1 = -1 - 1 = -2$

Координаты выколотой точки: $(-2, -2)$.

Для построения прямой найдем две любые точки, принадлежащие ей:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2}(2) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Строим прямую, проходящую через точки $(0, -1)$ и $(2, 0)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(-2, -2)$ пустым кружком.

Ответ:

Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. График функции — прямая $y = \frac{1}{2}x - 1$ с выколотой точкой $(-2, -2)$.

---

б) $y = \frac{3x + 6}{x^2 + 2x}$

1. Найдем область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Это равенство выполняется при $x = 0$ или $x = -2$.

Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме $x = -2$ и $x = 0$.

$D(y): x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$

2. Упростим выражение для функции.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $3x + 6 = 3(x+2)$.

Знаменатель: $x^2 + 2x = x(x+2)$.

Подставим разложенные выражения в функцию:

$y = \frac{3(x+2)}{x(x+2)}$

При $x \neq -2$ и $x \neq 0$ мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = \frac{3}{x}$

3. Построим график функции.

График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX). Ограничение $x \neq 0$ соответствует вертикальной асимптоте. В точке $x=-2$ у функции будет разрыв.

Найдем координаты этой "выколотой" точки, подставив $x = -2$ в упрощенное уравнение гиперболы:

$y = \frac{3}{-2} = -1.5$

Координаты выколотой точки: $(-2, -1.5)$.

Для построения гиперболы найдем несколько точек:

• При $x = 1$, $y = 3$. Точка $(1, 3)$.
• При $x = 3$, $y = 1$. Точка $(3, 1)$.
• При $x = -1$, $y = -3$. Точка $(-1, -3)$.
• При $x = -3$, $y = -1$. Точка $(-3, -1)$.

Строим ветви гиперболы в первом и третьем координатных квадрантах и отмечаем на ней выколотую точку $(-2, -1.5)$ пустым кружком.

Ответ:

Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(-2, -1.5)$.