Номер 12, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Функция. Область определения и множество значений функций. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 12, страница 90.

Условие.

12. Постройте график функции $y = |x|$.

По графику найдите, при каких значениях x:

а) $|x| = 5$

б) $|x| \le 3$

в) $|x| > 4$

Решение.

Решение 2.

Для построения графика функции $y = |x|$ воспользуемся определением модуля.

Модуль числа $x$ определяется как:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$

Таким образом, график функции $y = |x|$ состоит из двух частей:

1. График функции $y = x$ для неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$). Это биссектриса первого координатного угла, луч, выходящий из начала координат.
2. График функции $y = -x$ для отрицательных значений $x$ ($x < 0$). Это биссектриса второго координатного угла, луч, выходящий из начала координат.

Составим таблицу значений для построения:

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y = |x|$	4	3	2	1	0	1	2	3	4

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, мы получим график функции $y = |x|$, который представляет собой две линии, образующие "галочку" или букву 'V' с вершиной в точке (0, 0).

Теперь, используя построенный график, найдем требуемые значения $x$.

а) $|x| = 5$
Чтобы решить это уравнение графически, нам нужно найти точки на графике функции $y = |x|$, у которых ордината (значение y) равна 5. Для этого проведем горизонтальную прямую $y = 5$. Эта прямая пересечет график функции $y = |x|$ в двух точках. Найдем абсциссы (значения x) этих точек.
Для правой ветви графика ($y = x$): $x = 5$.
Для левой ветви графика ($y = -x$): $-x = 5$, откуда $x = -5$.
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Ответ: $x = -5, x = 5$.

б) $|x| \le 3$
Чтобы решить это неравенство графически, нам нужно найти те значения $x$, для которых график функции $y = |x|$ находится ниже или на уровне горизонтальной прямой $y = 3$.
Сначала найдем точки пересечения графика $y = |x|$ с прямой $y = 3$. Это произойдет при $x = 3$ и $x = -3$.
Часть графика, которая удовлетворяет условию $y \le 3$, — это отрезок "галочки", расположенный между точками $(-3, 3)$ и $(3, 3)$, включая эти точки.
Абсциссы всех точек на этом отрезке находятся в промежутке от -3 до 3 включительно.
Ответ: $-3 \le x \le 3$.

в) $|x| > 4$
Чтобы решить это неравенство графически, нам нужно найти те значения $x$, для которых график функции $y = |x|$ находится строго выше горизонтальной прямой $y = 4$.
Сначала найдем точки пересечения графика $y = |x|$ с прямой $y = 4$. Это произойдет при $x = 4$ и $x = -4$.
Части графика, которые удовлетворяют условию $y > 4$, — это два луча, начинающиеся от точек $(-4, 4)$ и $(4, 4)$ и идущие вверх. Сами точки $(-4, 4)$ и $(4, 4)$ не включаются, так как неравенство строгое.
Эти лучи соответствуют значениям $x$, которые левее -4 или правее 4.
Ответ: $x < -4$ или $x > 4$.