Номер 3, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

39. Свойства функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 3, страница 93.

Условие.

3. Начертите график какой-либо функции с областью определения $[-6; 5]$, нулями которой служат числа $-4, 2$ и $4$.

Укажите промежутки, на которых функция:

а) принимает положительные значения:

б) принимает отрицательные значения:

в) убывает:

г) возрастает:

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи необходимо сначала начертить график любой функции, которая удовлетворяет заданным условиям, а затем проанализировать его свойства.

Условия для функции $y=f(x)$:

1. Область определения: $D(f) = [-6; 5]$. Это означает, что график существует только для значений $x$ в этом отрезке.
2. Нули функции: $x = -4$, $x = 2$, $x = 4$. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс ($Ox$), то есть $y=0$.

Построим один из возможных вариантов такого графика. Для этого, помимо нулей функции, определим несколько дополнительных точек, чтобы задать форму кривой, например, точки локальных экстремумов (максимума и минимума) и значения функции на концах области определения.

• Пусть на левой границе области определения, при $x=-6$, значение функции будет $y=-2$. Точка $(-6, -2)$.
• Между нулями $x=-4$ и $x=2$ функция будет положительной, пусть у нее будет локальный максимум в точке $(-2, 4)$.
• Между нулями $x=2$ и $x=4$ функция будет отрицательной, пусть у нее будет локальный минимум в точке $(3, -1)$.
• На правой границе области определения, при $x=5$, значение функции будет $y=2$. Точка $(5, 2)$.

Ниже представлен график, построенный по этим условиям.

Теперь проанализируем построенный график и найдем требуемые промежутки.

а) принимает положительные значения:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Согласно построенному графику, это происходит на интервалах от -4 до 2 и от 4 до 5 (включая конец).
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-4; 2) \cup (4; 5]$.

б) принимает отрицательные значения:

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси абсцисс. Это происходит на интервалах от -6 (включая) до -4 и от 2 до 4.
Ответ: $y < 0$ при $x \in [-6; -4) \cup (2; 4)$.

в) убывает:

Функция убывает на тех промежутках, где с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз). На нашем графике это происходит на отрезке от точки локального максимума ($x = -2$) до точки локального минимума ($x = 3$).
Ответ: функция убывает на промежутке $[-2; 3]$.

г) возрастает:

Функция возрастает на тех промежутках, где с увеличением $x$ значение $y$ увеличивается (график идет вверх). На нашем графике это происходит на двух промежутках: от $x = -6$ до локального максимума при $x = -2$, и от локального минимума при $x = 3$ до $x = 5$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-6; -2]$ и $[3; 5]$.