Номер 9, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

39. Свойства функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 9, страница 95.

Условие.

9. Используя свойство, доказанное в задании 8, выясните, являются ли возрастающими или убывающими функции:

a) $f(x) = x^3 + 2x - 10$;

б) $g(x)=-\frac{1}{x}+2\sqrt{x}$ при $x>0$.

Решение.

Решение 2.

a) Для функции $f(x) = x^3 + 2x - 10$. Воспользуемся свойством, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая. Область определения данной функции — все действительные числа. Представим функцию $f(x)$ как сумму трех функций: $f_1(x) = x^3$, $f_2(x) = 2x$ и $f_3(x) = -10$.
1. Функция $f_1(x) = x^3$ является возрастающей на всей числовой оси.
2. Функция $f_2(x) = 2x$ является возрастающей на всей числовой оси, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом.
3. Функция $f_3(x) = -10$ — константа, она не влияет на характер монотонности.
Так как функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($x^3$ и $2x$), то она также является возрастающей на всей области определения.
Ответ: возрастающая.

б) Для функции $g(x) = -\frac{1}{x} + 2\sqrt{x}$ при $x > 0$. Используем то же свойство о сумме возрастающих функций на заданном промежутке. Представим функцию $g(x)$ как сумму двух функций: $g_1(x) = -\frac{1}{x}$ и $g_2(x) = 2\sqrt{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$.
1. Функция $y = \frac{1}{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$ является убывающей. Следовательно, функция $g_1(x) = - \frac{1}{x}$ является возрастающей на этом промежутке.
2. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на промежутке $(0, +\infty)$. Умножение на положительную константу $2$ сохраняет характер монотонности, поэтому функция $g_2(x) = 2\sqrt{x}$ также возрастает на $(0, +\infty)$.
Поскольку функция $g(x)$ является суммой двух возрастающих на промежутке $(0, +\infty)$ функций, она также является возрастающей на этом промежутке.
Ответ: возрастающая.