Номер 8, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

39. Свойства функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 8, страница 95.

Условие.

8. Известно, что функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на области $D$ и являются возрастающими. Докажите, что функция $\varphi(x)=f(x)+g(x)$ также является возрастающей на области $D$. Продолжите доказательство.

Доказательство. Пусть $x_1$ и $x_2$ принадлежат области $D$ и $x_2 > x_1$.

Тогда

$\varphi(x_2)-\varphi(x_1)=(f(x_2)+g(x_2))-(f(x_1)+g(x_1))=$

Решение.

Решение 2.

Доказательство. Пусть $x_1$ и $x_2$ принадлежат области $D$ и $x_2 > x_1$.
Тогда
$\varphi(x_2) - \varphi(x_1) = (f(x_2) + g(x_2)) - (f(x_1) + g(x_1)) = (f(x_2) - f(x_1)) + (g(x_2) - g(x_1))$.
По условию задачи, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются возрастающими на области $D$. По определению возрастающей функции, для любых $x_1, x_2 \in D$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняются неравенства:
$f(x_2) > f(x_1)$, из которого следует, что разность $f(x_2) - f(x_1) > 0$.
$g(x_2) > g(x_1)$, из которого следует, что разность $g(x_2) - g(x_1) > 0$.
Таким образом, выражение $\varphi(x_2) - \varphi(x_1) = (f(x_2) - f(x_1)) + (g(x_2) - g(x_1))$ является суммой двух положительных чисел. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.
Следовательно, $\varphi(x_2) - \varphi(x_1) > 0$, что равносильно $\varphi(x_2) > \varphi(x_1)$.
Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из области определения $D$, если $x_2 > x_1$, то $\varphi(x_2) > \varphi(x_1)$. Это, по определению, означает, что функция $\varphi(x)$ является возрастающей на области $D$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция $\varphi(x) = f(x) + g(x)$ является возрастающей на области $D$, так как для любых $x_2 > x_1$ разность $\varphi(x_2) - \varphi(x_1)$ положительна, поскольку она равна сумме положительных разностей $(f(x_2) - f(x_1))$ и $(g(x_2) - g(x_1))$.