Номер 10, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

39. Свойства функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 10, страница 96.

Условие.

10. Докажите, что функция $f(x)$ возрастает при заданных значениях аргумента:

$f(x) = \frac{2}{9-x}$ при $x < 9$. Пусть $x_1 < x_2 < 9$;

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{2}{9-x_2} - \frac{2}{9-x_1} = \frac{18-2x_1-18+2x_2}{(9-x_1)(9-x_2)} = \frac{2(x_2-x_1)}{(9-x_1)(9-x_2)} > 0,$

так как $x_2-x_1 > 0$, $9-x_1 > 0$, $9-x_2 > 0$. Значит, $f(x_2) > f(x_1)$.

a) $f(x) = \frac{3}{5-2x}$ при $x > 2,5;$

б) $f(x) = 3x - 2 - \frac{1}{x+4}$ при $x > -4.$

Решение.

Решение 2.

а) $f(x) = \frac{3}{5 - 2x}$ при $x > 2,5$

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $f(x_2) - f(x_1)$ положительна.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные числа, такие что $2,5 < x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{3}{5 - 2x_2} - \frac{3}{5 - 2x_1}$

Приведем дроби к общему знаменателю и упростим выражение:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{3(5 - 2x_1) - 3(5 - 2x_2)}{(5 - 2x_2)(5 - 2x_1)} = \frac{15 - 6x_1 - 15 + 6x_2}{(5 - 2x_1)(5 - 2x_2)} = \frac{6x_2 - 6x_1}{(5 - 2x_1)(5 - 2x_2)} = \frac{6(x_2 - x_1)}{(5 - 2x_1)(5 - 2x_2)}$

Теперь оценим знак числителя и знаменателя полученной дроби.

1. Числитель $6(x_2 - x_1)$. Поскольку мы выбрали $x_2 > x_1$, разность $x_2 - x_1$ положительна. Следовательно, числитель положителен.

2. Знаменатель $(5 - 2x_1)(5 - 2x_2)$. Из условия $x > 2,5$ следует, что $2x > 5$, и, соответственно, $5 - 2x < 0$. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат этому промежутку, то оба выражения в скобках отрицательны:

$x_1 > 2,5 \implies 5 - 2x_1 < 0$

$x_2 > 2,5 \implies 5 - 2x_2 < 0$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому знаменатель $(5 - 2x_1)(5 - 2x_2)$ положителен.

Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь положительна. Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что означает $f(x_2) > f(x_1)$. Это доказывает, что функция возрастает.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{3}{5 - 2x}$ возрастает при $x > 2,5$.

б) $f(x) = 3x - 2 - \frac{1}{x+4}$ при $x > -4$

Действуем аналогично. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из промежутка $x > -4$ так, чтобы выполнялось условие $-4 < x_1 < x_2$. Докажем, что $f(x_2) - f(x_1) > 0$.

Составим разность:

$f(x_2) - f(x_1) = \left(3x_2 - 2 - \frac{1}{x_2+4}\right) - \left(3x_1 - 2 - \frac{1}{x_1+4}\right)$

Сгруппируем слагаемые и упростим:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 - 3x_1) - 2 + 2 + \left(\frac{1}{x_1+4} - \frac{1}{x_2+4}\right) = 3(x_2 - x_1) + \frac{(x_2+4) - (x_1+4)}{(x_1+4)(x_2+4)}$

$f(x_2) - f(x_1) = 3(x_2 - x_1) + \frac{x_2 - x_1}{(x_1+4)(x_2+4)}$

Вынесем общий множитель $(x_2 - x_1)$ за скобки:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)\left(3 + \frac{1}{(x_1+4)(x_2+4)}\right)$

Оценим знак каждого множителя в полученном произведении.

1. Первый множитель $(x_2 - x_1)$. Так как $x_2 > x_1$, этот множитель положителен.

2. Второй множитель $\left(3 + \frac{1}{(x_1+4)(x_2+4)}\right)$. Из условия $x > -4$ следует, что $x+4 > 0$. Поскольку и $x_1$, и $x_2$ больше -4, то:

$x_1 > -4 \implies x_1+4 > 0$

$x_2 > -4 \implies x_2+4 > 0$

Знаменатель $(x_1+4)(x_2+4)$ является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен. Тогда дробь $\frac{1}{(x_1+4)(x_2+4)}$ также положительна. Сумма положительного числа 3 и положительной дроби есть число положительное.

Произведение двух положительных множителей положительно. Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, а $f(x_2) > f(x_1)$. Функция возрастает на заданном промежутке.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = 3x - 2 - \frac{1}{x+4}$ возрастает при $x > -4$.