Номер 5, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

39. Свойства функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 5, страница 94.

Условие.

5. Найдите нули функции и множества, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения:

а) $y = x^2 - 6x + 5;$

б) $y = x^3 - 0,49x.$

Решение.

Решение 2.

а) $y = x^2 - 6x + 5$

1. Найдем нули функции.
Для этого необходимо решить уравнение $y = 0$, то есть $x^2 - 6x + 5 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Таким образом, нули функции: $x = 1$ и $x = 5$.

2. Найдем множества, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
График данной функции — парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен. Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, соответствующих нулям функции: $x = 1$ и $x = 5$.
Это означает, что функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси Ox, то есть при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси Ox, то есть между корнями.
Следовательно:
Функция положительна при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
Функция отрицательна при $x \in (1; 5)$.

Ответ:
Нули функции: $x_1 = 1, x_2 = 5$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (1; 5)$.

б) $y = x^3 - 0,49x$

1. Найдем нули функции.
Приравняем функцию к нулю: $x^3 - 0,49x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 0,49) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x^2 - 0,49 = 0$.
Решим второе уравнение, которое является разностью квадратов:
$x^2 = 0,49$.
$x = \pm\sqrt{0,49}$.
$x_2 = 0,7$ и $x_3 = -0,7$.
Таким образом, нули функции: $x = -0,7$, $x = 0$ и $x = 0,7$.

2. Найдем множества, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
Используем метод интервалов. Нули функции $-0,7$, $0$, $0,7$ разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -0,7)$, $(-0,7; 0)$, $(0; 0,7)$ и $(0,7; +\infty)$. Определим знак функции в каждом из них, выбрав по одной пробной точке.
- Интервал $(-\infty; -0,7)$: возьмем $x = -1$.
$y(-1) = (-1)^3 - 0,49(-1) = -1 + 0,49 = -0,51$. Значение отрицательное ($y < 0$).
- Интервал $(-0,7; 0)$: возьмем $x = -0,1$.
$y(-0,1) = (-0,1)^3 - 0,49(-0,1) = -0,001 + 0,049 = 0,048$. Значение положительное ($y > 0$).
- Интервал $(0; 0,7)$: возьмем $x = 0,1$.
$y(0,1) = (0,1)^3 - 0,49(0,1) = 0,001 - 0,049 = -0,048$. Значение отрицательное ($y < 0$).
- Интервал $(0,7; +\infty)$: возьмем $x = 1$.
$y(1) = 1^3 - 0,49(1) = 1 - 0,49 = 0,51$. Значение положительное ($y > 0$).
Следовательно:
Функция положительна при $x \in (-0,7; 0) \cup (0,7; +\infty)$.
Функция отрицательна при $x \in (-\infty; -0,7) \cup (0; 0,7)$.

Ответ:
Нули функции: $x_1 = -0,7, x_2 = 0, x_3 = 0,7$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-0,7; 0) \cup (0,7; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -0,7) \cup (0; 0,7)$.