Номер 14, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Функция. Область определения и множество значений функций. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 14, страница 91.

Условие.

14. Периметр P(см) равнобедренного треугольника с боковой стороной 35 см зависит от длины основания x(см). Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость: $P(x) = 70 + x$

Укажите область определения D(P) и область значений E(P) этой функции, зная, что $P \ge 100$ см.

Область определения $D(P)$: $[30; 70)$

Область значений $E(P)$: $[100; 140)$

Решение.

Решение 2.

Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость:

Периметр $P$ любого треугольника равен сумме длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. По условию задачи, длина каждой боковой стороны составляет 35 см, а длина основания обозначена как $x$ см.

Следовательно, периметр $P$ можно выразить как функцию от длины основания $x$:
$P(x) = 35 \text{ см} + 35 \text{ см} + x \text{ см}$
$P(x) = 70 + x$

Ответ: $P(x) = 70 + x$.

Укажите область определения D(P) и область значений E(P) этой функции, зная, что P ≥ 100 см.

1. Область определения $D(P)$
Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента, в данном случае $x$. Для нахождения $D(P)$ необходимо учесть два условия:

а) Геометрическое ограничение (неравенство треугольника): сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.
$35 + 35 > x \implies 70 > x$
$35 + x > 35 \implies x > 0$
Из этих неравенств следует, что длина основания $x$ должна находиться в интервале $0 < x < 70$.

б) Условие из задачи: периметр должен быть не меньше 100 см, то есть $P \ge 100$. Подставим в это неравенство выведенную ранее формулу $P(x) = 70 + x$:
$70 + x \ge 100$
$x \ge 100 - 70$
$x \ge 30$

Для нахождения итоговой области определения $D(P)$ нужно найти пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям: $(0; 70)$ и $[30; +\infty)$. Пересечением является промежуток $30 \le x < 70$.
Таким образом, область определения функции: $D(P) = [30; 70)$.

2. Область значений $E(P)$
Область значений — это множество всех значений, которые может принимать функция $P(x)$ на ее области определения $D(P)$.
Поскольку функция $P(x) = 70 + x$ является возрастающей, ее наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах промежутка области определения $x \in [30; 70)$.

- Найдем наименьшее значение периметра (соответствует наименьшему $x=30$):
$P(30) = 70 + 30 = 100$.
- Найдем значение, к которому стремится периметр при $x$, стремящемся к 70:
$P \to 70 + 70 = 140$.

Так как $x=30$ входит в область определения, то $P=100$ входит в область значений. Так как $x=70$ не входит в область определения (неравенство строгое), то и $P=140$ не входит в область значений.
Следовательно, область значений функции: $E(P) = [100; 140)$.

Ответ: $D(P) = [30; 70)$, $E(P) = [100; 140)$.