Номер 8, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Функция. Область определения и множество значений функций. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 8, страница 87.

Условие.

8. Приведите пример функции, областью определения которой является:

а) множество всех чисел, кроме 12:

б) множество всех чисел, кроме −1 и 1:

в) множество всех чисел, не превосходящих 6:

г) множество всех чисел, больших 8:

Решение.

Решение 2.

а) множество всех чисел, кроме 12:
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Чтобы исключить из этого множества одно число, например 12, можно создать функцию, в которой при $x=12$ происходит действие, не имеющее смысла в математике, например, деление на ноль.Для этого создадим дробь, знаменатель которой обращается в ноль при $x = 12$. Этому условию удовлетворяет выражение $x - 12$. В числителе может быть любое число, не равное нулю, или выражение, которое определено при $x=12$.Пример функции:$y = \frac{1}{x-12}$Область определения этой функции задается условием $x - 12 \ne 0$, то есть $x \ne 12$. Это и есть множество всех чисел, кроме 12.
Ответ: $y = \frac{1}{x-12}$

б) множество всех чисел, кроме −1 и 1:
Аналогично предыдущему пункту, чтобы исключить из области определения два числа, -1 и 1, нужно, чтобы знаменатель функции обращался в ноль при $x = -1$ и $x = 1$.Это означает, что у многочлена в знаменателе должны быть корни -1 и 1. Следовательно, он должен содержать множители $(x - (-1))$ и $(x - 1)$, то есть $(x+1)$ и $(x-1)$.Перемножим эти множители: $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$.Пример функции:$y = \frac{1}{x^2-1}$Область определения этой функции задается условием $x^2 - 1 \ne 0$, что равносильно $x^2 \ne 1$, то есть $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Ответ: $y = \frac{1}{x^2-1}$

в) множество всех чисел, не превосходящих 6:
Условие "числа, не превосходящие 6" означает, что $x \le 6$. Такое ограничение на область определения характерно для функций с квадратным корнем, так как выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).Нам нужно найти такое выражение $f(x)$, чтобы неравенство $f(x) \ge 0$ было равносильно неравенству $x \le 6$.Преобразуем $x \le 6 \implies 0 \le 6 - x$.Значит, в качестве подкоренного выражения можно взять $6-x$.Пример функции:$y = \sqrt{6-x}$Область определения этой функции задается условием $6-x \ge 0$, то есть $6 \ge x$ или $x \le 6$.
Ответ: $y = \sqrt{6-x}$

г) множество всех чисел, больших 8:
Условие "числа, большие 8" означает, что $x > 8$. Такое строгое неравенство можно получить несколькими способами. Например, с помощью логарифмической функции (аргумент логарифма должен быть строго положительным) или с помощью квадратного корня в знаменателе (подкоренное выражение должно быть строго положительным).Рассмотрим вариант с логарифмом. Нам нужно найти такое выражение $f(x)$, чтобы неравенство $f(x) > 0$ было равносильно неравенству $x > 8$.Преобразуем $x > 8 \implies x - 8 > 0$.Значит, в качестве аргумента логарифма можно взять выражение $x-8$.Пример функции:$y = \ln(x-8)$Область определения этой функции задается условием $x-8 > 0$, то есть $x > 8$.
Ответ: $y = \ln(x-8)$