Номер 6, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

39. Свойства функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 6, страница 94.

Условие.

6. Укажите область определения функции:

а) $f(x) = \frac{x - \sqrt{3x + 4}}{x + 1};$

б) $f(x) = \frac{2x^2 - x}{3x - \sqrt{6x - 1}}.$

Решение.

Решение 2.

а) Область определения функции $f(x) = \frac{x - \sqrt{3x + 4}}{x + 1}$ находится из двух условий:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
   $3x + 4 \geq 0$
   $3x \geq -4$
   $x \geq -\frac{4}{3}$
   Это означает, что $x$ принадлежит промежутку $[-\frac{4}{3}; +\infty)$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как на ноль делить нельзя.
   $x + 1 \neq 0$
   $x \neq -1$

Объединим эти два условия. Нам нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. То есть, из промежутка $[-\frac{4}{3}; +\infty)$ необходимо исключить точку $x = -1$.
Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $D(f) = [-\frac{4}{3}; -1) \cup (-1; +\infty)$.

---

б) Область определения функции $f(x) = \frac{2x^2 - x}{3x - \sqrt{6x - 1}}$ также находится из двух условий:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
   $6x - 1 \geq 0$
   $6x \geq 1$
   $x \geq \frac{1}{6}$
   Это означает, что $x$ принадлежит промежутку $[\frac{1}{6}; +\infty)$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
   $3x - \sqrt{6x - 1} \neq 0$
   Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
   $3x = \sqrt{6x - 1}$
   Так как правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $3x \geq 0$, то есть $x \geq 0$. Это условие выполняется, так как мы уже установили, что $x \geq \frac{1}{6}$.
   Возведем обе части уравнения в квадрат:
   $(3x)^2 = (\sqrt{6x - 1})^2$
   $9x^2 = 6x - 1$
   $9x^2 - 6x + 1 = 0$
   Это полный квадрат разности: $(3x - 1)^2 = 0$.
   $3x - 1 = 0$
   $3x = 1$
   $x = \frac{1}{3}$
   Значит, при $x = \frac{1}{3}$ знаменатель обращается в ноль. Это значение необходимо исключить из области определения.

Объединим условия. Из промежутка $[\frac{1}{6}; +\infty)$, полученного из первого условия, нужно исключить точку $x = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, и $\frac{2}{6} > \frac{1}{6}$, точка $x = \frac{1}{3}$ входит в этот промежуток и должна быть исключена.

Ответ: $D(f) = [\frac{1}{6}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.