Номер 7, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

39. Свойства функции. Глава 5. Функции. Часть 2 - номер 7, страница 95.

Условие.

7. Найдите нули функции:

a) $f(x) = \frac{x - \sqrt{3x+4}}{x+1}$

б) $f(x) = \frac{2x^2 - x}{3x - \sqrt{6x-1}}$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти нули функции $f(x) = \frac{x - \sqrt{3x + 4}}{x + 1}$, необходимо приравнять функцию к нулю. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), а именно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим систему условий:

$\begin{cases} x - \sqrt{3x + 4} = 0 \\ x + 1 \neq 0 \\ 3x + 4 \ge 0 \end{cases}$

Из второго и третьего условий системы получаем ОДЗ:

$x \neq -1$ и $3x \ge -4 \implies x \ge -\frac{4}{3}$.

Итак, ОДЗ: $x \in [-\frac{4}{3}, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Теперь решим первое уравнение системы: $x - \sqrt{3x + 4} = 0$.

$x = \sqrt{3x + 4}$

Поскольку правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной, то есть $x \ge 0$. При этом условии можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{3x + 4})^2$

$x^2 = 3x + 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям $x \ge 0$ и ОДЗ.

1. Корень $x_1 = 4$:

Условие $x \ge 0$ выполняется ($4 \ge 0$).

Корень $x=4$ входит в ОДЗ, так как $4 \ge -\frac{4}{3}$ и $4 \neq -1$.

Следовательно, $x = 4$ является нулем функции.

2. Корень $x_2 = -1$:

Условие $x \ge 0$ не выполняется ($-1 < 0$).

Также корень $x=-1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль.

Следовательно, $x = -1$ является посторонним корнем.

Таким образом, функция имеет единственный нуль.

Ответ: $4$.

б) Чтобы найти нули функции $f(x) = \frac{2x^2 - x}{3x - \sqrt{6x - 1}}$, необходимо приравнять ее к нулю.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) функции.

ОДЗ определяется следующими условиями:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $6x - 1 \ge 0 \implies 6x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{6}$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $3x - \sqrt{6x - 1} \neq 0$.

Теперь найдем значения $x$, при которых числитель равен нулю:

$2x^2 - x = 0$

$x(2x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Проверим каждый корень на принадлежность к ОДЗ.

1. Проверяем корень $x_1 = 0$:

Условие $x \ge \frac{1}{6}$ не выполняется, так как $0 < \frac{1}{6}$. Следовательно, $x = 0$ не входит в область определения функции и не может быть ее нулем.

2. Проверяем корень $x_2 = \frac{1}{2}$:

Условие $x \ge \frac{1}{6}$ выполняется, так как $\frac{1}{2} > \frac{1}{6}$.

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при $x = \frac{1}{2}$:

$3 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{6 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} - \sqrt{3 - 1} = \frac{3}{2} - \sqrt{2}$.

Так как $\frac{3}{2} = 1,5$, а $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\frac{3}{2} - \sqrt{2} \neq 0$. Знаменатель не равен нулю.

Поскольку при $x = \frac{1}{2}$ числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, и это значение входит в ОДЗ, то $x = \frac{1}{2}$ является нулем функции.

Ответ: $0,5$.