Номер 5, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

33. Сложение и умножение числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 60.

Условие.

5. Пользуясь тем, что $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ и $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$, оцените значение выражения:

а) $\sqrt{11} + \sqrt{7}$;

б) $\sqrt{11} - \sqrt{7}$;

в) $3\sqrt{11} - 2\sqrt{7}$;

г) $\sqrt{44} + \sqrt{63}$.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия: $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ и $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$.

а) $\sqrt{11} + \sqrt{7}$

Чтобы оценить сумму, необходимо сложить левые и правые части исходных неравенств соответственно. Это свойство сложения числовых неравенств одинакового знака.

Сложим неравенства почленно:

$ \begin{array}{c} 3,3 < \sqrt{11} < 3,4 \\ + \\ 2,6 < \sqrt{7} < 2,7 \\ \hline 3,3 + 2,6 < \sqrt{11} + \sqrt{7} < 3,4 + 2,7 \end{array} $

Выполним сложение:

$5,9 < \sqrt{11} + \sqrt{7} < 6,1$

Таким образом, значение выражения находится в интервале от 5,9 до 6,1.

Ответ: $5,9 < \sqrt{11} + \sqrt{7} < 6,1$.

б) $\sqrt{11} - \sqrt{7}$

Для оценки разности $\sqrt{11} - \sqrt{7}$ воспользуемся правилом вычитания неравенств: чтобы получить нижнюю границу разности, нужно из нижней границы уменьшаемого вычесть верхнюю границу вычитаемого. Чтобы получить верхнюю границу разности, нужно из верхней границы уменьшаемого вычесть нижнюю границу вычитаемого.

Это следует из того, что если $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$, то $-2,7 < -\sqrt{7} < -2,6$. Теперь можно сложить это неравенство с неравенством для $\sqrt{11}$.

$ \begin{array}{c} 3,3 < \sqrt{11} < 3,4 \\ + \\ -2,7 < -\sqrt{7} < -2,6 \\ \hline 3,3 - 2,7 < \sqrt{11} - \sqrt{7} < 3,4 - 2,6 \end{array} $

Выполним вычитание:

$0,6 < \sqrt{11} - \sqrt{7} < 0,8$

Таким образом, значение выражения находится в интервале от 0,6 до 0,8.

Ответ: $0,6 < \sqrt{11} - \sqrt{7} < 0,8$.

в) $3\sqrt{11} - 2\sqrt{7}$

Сначала оценим каждое слагаемое в отдельности.

1. Оценим $3\sqrt{11}$. Умножим все части неравенства $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 > 0):

$3 \times 3,3 < 3\sqrt{11} < 3 \times 3,4$

$9,9 < 3\sqrt{11} < 10,2$

2. Оценим $2\sqrt{7}$. Умножим все части неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на 2:

$2 \times 2,6 < 2\sqrt{7} < 2 \times 2,7$

$5,2 < 2\sqrt{7} < 5,4$

3. Теперь оценим разность $3\sqrt{11} - 2\sqrt{7}$, используя полученные неравенства и правило вычитания, как в пункте б):

$9,9 - 5,4 < 3\sqrt{11} - 2\sqrt{7} < 10,2 - 5,2$

$4,5 < 3\sqrt{11} - 2\sqrt{7} < 5,0$

Ответ: $4,5 < 3\sqrt{11} - 2\sqrt{7} < 5,0$.

г) $\sqrt{44} + \sqrt{63}$

Сначала упростим выражение, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{44} = \sqrt{4 \times 11} = \sqrt{4}\sqrt{11} = 2\sqrt{11}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{9}\sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

Таким образом, нам нужно оценить выражение $2\sqrt{11} + 3\sqrt{7}$.

1. Оценим $2\sqrt{11}$. Умножим неравенство $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ на 2:

$2 \times 3,3 < 2\sqrt{11} < 2 \times 3,4$

$6,6 < 2\sqrt{11} < 6,8$

2. Оценим $3\sqrt{7}$. Умножим неравенство $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на 3:

$3 \times 2,6 < 3\sqrt{7} < 3 \times 2,7$

$7,8 < 3\sqrt{7} < 8,1$

3. Теперь оценим сумму $2\sqrt{11} + 3\sqrt{7}$, сложив почленно полученные неравенства:

$6,6 + 7,8 < 2\sqrt{11} + 3\sqrt{7} < 6,8 + 8,1$

$14,4 < 2\sqrt{11} + 3\sqrt{7} < 14,9$

Следовательно, оценка для исходного выражения:

$14,4 < \sqrt{44} + \sqrt{63} < 14,9$

Ответ: $14,4 < \sqrt{44} + \sqrt{63} < 14,9$.