Номер 10, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 10, страница 58.

Условие.

10. Верно ли, что если $a > b > 0$, то:

а) $3,7a > \sqrt{2b}$;

б) $-1,5a < -\sqrt{3b}$?

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы проверить, верно ли утверждение, что если $a > b > 0$, то $3,7a > \sqrt{2b}$, попробуем найти контрпример. Утверждение является неверным, если найдется хотя бы одна пара чисел $a$ и $b$, удовлетворяющая условию $a > b > 0$, для которой неравенство $3,7a > \sqrt{2b}$ не выполняется.

Возьмем значения $a$ и $b$, близкие к нулю. Например, пусть $a = 0,02$ и $b = 0,01$. Эти значения удовлетворяют условию $a > b > 0$, так как $0,02 > 0,01 > 0$.

Подставим эти значения в проверяемое неравенство:

Левая часть: $3,7a = 3,7 \cdot 0,02 = 0,074$.

Правая часть: $\sqrt{2b} = \sqrt{2 \cdot 0,01} = \sqrt{0,02}$.

Теперь сравним числа $0,074$ и $\sqrt{0,02}$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты, не меняя знака неравенства:

$(0,074)^2 = 0,005476$

$(\sqrt{0,02})^2 = 0,02$

Так как $0,005476 < 0,02$, то и $0,074 < \sqrt{0,02}$.

Следовательно, для $a=0,02$ и $b=0,01$ неравенство $3,7a > \sqrt{2b}$ не выполняется. Это означает, что исходное утверждение не является верным для всех $a$ и $b$, удовлетворяющих условию.

Ответ: нет, неверно.

б)

Рассмотрим утверждение: если $a > b > 0$, то $-1,5a < -\sqrt{3b}$.

Для начала упростим это неравенство. Умножим обе его части на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$1,5a > \sqrt{3b}$

Поскольку $a$ и $b$ положительны, обе части нового неравенства $1,5a$ и $\sqrt{3b}$ также положительны. Мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(1,5a)^2 > (\sqrt{3b})^2$

$2,25a^2 > 3b$

Теперь задача сводится к проверке, всегда ли верно неравенство $2,25a^2 > 3b$ при условии $a > b > 0$. Попробуем найти контрпример.

Пусть $a = 1$. Тогда из условия $a > b > 0$ следует, что $1 > b > 0$. Подставим $a=1$ в неравенство $2,25a^2 > 3b$:

$2,25 \cdot 1^2 > 3b$

$2,25 > 3b$

Разделим обе части на 3:

$b < \frac{2,25}{3}$

$b < 0,75$

Мы видим, что при $a=1$ исходное утверждение будет верным только если $b < 0,75$. Однако условие $1 > b > 0$ допускает значения $b$, которые больше или равны $0,75$. Выберем такое значение для контрпримера.

Пусть $a = 1$ и $b = 0,9$. Эти числа удовлетворяют условию $a > b > 0$ ($1 > 0,9 > 0$), но не удовлетворяют условию $b < 0,75$.

Проверим для них исходное неравенство $-1,5a < -\sqrt{3b}$:

Левая часть: $-1,5a = -1,5 \cdot 1 = -1,5$.

Правая часть: $-\sqrt{3b} = -\sqrt{3 \cdot 0,9} = -\sqrt{2,7}$.

Сравним числа $-1,5$ и $-\sqrt{2,7}$. Для этого сравним их модули (положительные значения) $1,5$ и $\sqrt{2,7}$. Возведем их в квадрат:

$(1,5)^2 = 2,25$

$(\sqrt{2,7})^2 = 2,7$

Так как $2,25 < 2,7$, то $1,5 < \sqrt{2,7}$.

При умножении на $-1$ знак неравенства меняется, поэтому $-1,5 > -\sqrt{2,7}$.

Полученное неравенство $-1,5a > -\sqrt{3b}$ противоречит исходному $-1,5a < -\sqrt{3b}$. Значит, утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.