Номер 6, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 6, страница 57.

Условие.

6. Известно, что $a > b > 0$. Поставьте знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:

а) $-6,8a \square -6,8b;$

б) $(1-\sqrt{3})a \square (1-\sqrt{3})b;$

в) $\frac{a}{\sqrt{3}} \square \frac{b\sqrt{3}}{3}.$

Решение.

Решение 2.

а) Исходное неравенство: $a > b$. По условию $a > b > 0$. При умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Число $-6,8$ является отрицательным.
$a > b \quad | \cdot (-6,8)$
$-6,8a < -6,8b$
Ответ: $-6,8a < -6,8b$.

б) Исходное неравенство: $a > b$. Оценим знак множителя $(1 - \sqrt{3})$. Поскольку $1^2 = 1$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $1 < 3$, то $1 < \sqrt{3}$. Следовательно, разность $1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом.
При умножении обеих частей верного неравенства на отрицательное число $(1 - \sqrt{3})$ знак неравенства меняется на противоположный.
$a > b \quad | \cdot (1-\sqrt{3})$
$(1 - \sqrt{3})a < (1 - \sqrt{3})b$
Ответ: $(1 - \sqrt{3})a < (1 - \sqrt{3})b$.

в) Исходное неравенство: $a > b$. Требуется сравнить выражения $\frac{a}{\sqrt{3}}$ и $\frac{b\sqrt{3}}{3}$.
Преобразуем второе выражение, избавившись от иррациональности в числителе (или можно было избавиться от иррациональности в знаменателе первого выражения, результат будет тот же):
$\frac{b\sqrt{3}}{3} = \frac{b\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{b}{\sqrt{3}}$
Теперь задача сводится к сравнению дробей $\frac{a}{\sqrt{3}}$ и $\frac{b}{\sqrt{3}}$.
При делении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства не меняется. Число $\sqrt{3}$ является положительным.
$a > b \quad | : \sqrt{3}$
$\frac{a}{\sqrt{3}} > \frac{b}{\sqrt{3}}$
А так как $\frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{b\sqrt{3}}{3}$, то и $\frac{a}{\sqrt{3}} > \frac{b\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{a}{\sqrt{3}} > \frac{b\sqrt{3}}{3}$.