Номер 9, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 9, страница 58.

Условие.

9. Докажите, что если $a$ и $b$ — положительные числа и $a^2 > b^2$, то $a > b$.

Пользуясь доказанным свойством, сравните значения выражений:

а) $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ и $\sqrt{8}+\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{11}+\sqrt{8}$ и $\sqrt{12}+\sqrt{7}$.

Решение.

Решение 2.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что $a \le b$. Рассмотрим два случая:

1. Если $a = b$, то $a^2 = b^2$. Это противоречит условию $a^2 > b^2$.

2. Если $a < b$, то, поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства. Получим $a^2 < b^2$. Это также противоречит условию $a^2 > b^2$.

Таким образом, наше предположение, что $a \le b$, неверно. Следовательно, $a > b$.

Альтернативное доказательство:

Из условия $a^2 > b^2$ следует, что $a^2 - b^2 > 0$.

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) > 0$.

По условию, числа $a$ и $b$ положительные ($a>0$, $b>0$), следовательно, их сумма $a+b$ также положительна: $a+b > 0$.

Поскольку произведение $(a-b)(a+b)$ положительно и один из множителей ($a+b$) положителен, то и второй множитель ($a-b$) должен быть положителен.

Итак, $a-b > 0$, откуда следует, что $a > b$. Утверждение доказано.

Теперь воспользуемся доказанным свойством для сравнения выражений.

a) Сравним выражения $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ и $\sqrt{8}+\sqrt{3}$.

Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Пусть $x = \sqrt{6}+\sqrt{5}$ и $y = \sqrt{8}+\sqrt{3}$.

Возведем в квадрат первое выражение:

$x^2 = (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{30} + 5 = 11 + 2\sqrt{30}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$y^2 = (\sqrt{8}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 8 + 2\sqrt{24} + 3 = 11 + 2\sqrt{24}$.

Теперь сравним полученные квадраты: $11 + 2\sqrt{30}$ и $11 + 2\sqrt{24}$.

Поскольку $30 > 24$, то $\sqrt{30} > \sqrt{24}$. Умножив обе части на 2, получим $2\sqrt{30} > 2\sqrt{24}$. Прибавив к обеим частям 11, получим $11 + 2\sqrt{30} > 11 + 2\sqrt{24}$.

Таким образом, $x^2 > y^2$. Так как $x$ и $y$ положительны, на основании доказанного свойства заключаем, что $x > y$.

Ответ: $\sqrt{6}+\sqrt{5} > \sqrt{8}+\sqrt{3}$.

б) Сравним выражения $\sqrt{11}+\sqrt{8}$ и $\sqrt{12}+\sqrt{7}$.

Оба выражения положительны. Пусть $x = \sqrt{11}+\sqrt{8}$ и $y = \sqrt{12}+\sqrt{7}$. Сравним их квадраты.

Возведем в квадрат первое выражение:

$x^2 = (\sqrt{11}+\sqrt{8})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11 \cdot 8} + (\sqrt{8})^2 = 11 + 2\sqrt{88} + 8 = 19 + 2\sqrt{88}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$y^2 = (\sqrt{12}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{12})^2 + 2\sqrt{12 \cdot 7} + (\sqrt{7})^2 = 12 + 2\sqrt{84} + 7 = 19 + 2\sqrt{84}$.

Теперь сравним полученные квадраты: $19 + 2\sqrt{88}$ и $19 + 2\sqrt{84}$.

Поскольку $88 > 84$, то $\sqrt{88} > \sqrt{84}$. Следовательно, $2\sqrt{88} > 2\sqrt{84}$, и $19 + 2\sqrt{88} > 19 + 2\sqrt{84}$.

Таким образом, $x^2 > y^2$. Так как $x$ и $y$ положительны, то $x > y$.

Ответ: $\sqrt{11}+\sqrt{8} > \sqrt{12}+\sqrt{7}$.