Номер 4, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 4, страница 56.

Условие.

4. Оцените значение дроби $ \frac{1}{x} $:

а) если $ 6 < x < 11 $, то ......... $ < \frac{1}{x} < $ .........

б) если $ 0,3 < x < 0,6 $, то ......... $ < \frac{1}{x} < $ .........

Решение.

Решение 2.

Чтобы оценить значение дроби $\frac{1}{x}$, нужно учесть, что функция $y = \frac{1}{x}$ является убывающей для всех положительных значений $x$. Это означает, что если $a < x < b$ и $a, b > 0$, то $\frac{1}{b} < \frac{1}{x} < \frac{1}{a}$. Иными словами, меньшему значению $x$ соответствует большее значение $\frac{1}{x}$, и наоборот. Применяя это правило, решим оба пункта.

а)

Дано неравенство $6 < x < 11$. Так как все части неравенства положительны, мы можем применить свойство убывающей функции. Возьмем обратные величины от каждой части неравенства и изменим знаки неравенства на противоположные. Наибольшему значению $x$, равному 11, будет соответствовать наименьшее значение $\frac{1}{x}$, равное $\frac{1}{11}$. Наименьшему значению $x$, равному 6, будет соответствовать наибольшее значение $\frac{1}{x}$, равное $\frac{1}{6}$. В результате получаем следующее двойное неравенство: $\frac{1}{11} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{11} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$

б)

Дано неравенство $0.3 < x < 0.6$. Все части этого неравенства также положительны. Действуем аналогично предыдущему пункту. Берем обратные величины от границ интервала и меняем знаки неравенства. Найдем обратные величины для границ: Для $x=0.6$, обратная величина равна $\frac{1}{0.6} = \frac{1}{6/10} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$. Для $x=0.3$, обратная величина равна $\frac{1}{0.3} = \frac{1}{3/10} = \frac{10}{3}$. Таким образом, искомое неравенство для дроби $\frac{1}{x}$ будет: $\frac{5}{3} < \frac{1}{x} < \frac{10}{3}$. Можно также представить дроби в виде смешанных чисел: $1\frac{2}{3} < \frac{1}{x} < 3\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3} < \frac{1}{x} < \frac{10}{3}$