Номер 11, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 11, страница 54.

Условие.

11. Докажите, что при любом значении b верно неравенство

$\frac{2b^4+4}{2b^2+1} \ge 2$

Решение.

Решение 2.

Для доказательства неравенства $\frac{2b^4 + 4}{2b^2 + 1} \ge 2$ выполним равносильные преобразования.

Сначала определим область допустимых значений для переменной $b$. Выражение в знаменателе $2b^2 + 1$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то $2b^2 \ge 0$, и, следовательно, $2b^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель дроби всегда положителен и никогда не равен нулю, поэтому неравенство определено для всех значений $b$.

Поскольку знаменатель $2b^2 + 1$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на это выражение, не меняя знак неравенства:

$2b^4 + 4 \ge 2(2b^2 + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$2b^4 + 4 \ge 4b^2 + 2$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$2b^4 - 4b^2 + 4 - 2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2b^4 - 4b^2 + 2 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 2, что не изменит его знака:

$b^4 - 2b^2 + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства является формулой квадрата разности: $(b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 1 + 1^2 = (b^2 - 1)^2$.

Таким образом, мы получили неравенство:

$(b^2 - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Выражение $b^2-1$ является действительным числом при любом $b$, следовательно, его квадрат $(b^2 - 1)^2$ всегда будет больше или равен нулю.

Так как мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Неравенство доказано.