Номер 11, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 11, страница 44.

Условие.

11. При каких значениях $k$ система уравнений

$$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 18, \\ x + y = k \end{cases}$$

имеет единственное решение?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти значения параметра $k$, при которых система уравнений имеет единственное решение, воспользуемся методом подстановки.

Исходная система: $$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 18, \\ x + y = k \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим переменную $x$: $$x = k - y$$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы: $$(k - y)^2 - 3y^2 = 18$$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $y$: $$k^2 - 2ky + y^2 - 3y^2 = 18$$ $$-2y^2 - 2ky + k^2 - 18 = 0$$

Умножим все члены уравнения на $-1$, чтобы сделать коэффициент при $y^2$ положительным: $$2y^2 + 2ky - (k^2 - 18) = 0$$ Или, в стандартном виде $ay^2+by+c=0$: $$2y^2 + (2k)y + (18 - k^2) = 0$$

Исходная система имеет единственное решение (единственную пару $(x, y)$) тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение для $y$ имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант этого уравнения, где $a=2$, $b=2k$, $c=18-k^2$: $$D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (18 - k^2)$$ $$D = 4k^2 - 8(18 - k^2)$$ $$D = 4k^2 - 144 + 8k^2$$ $$D = 12k^2 - 144$$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $k$: $$12k^2 - 144 = 0$$ $$12k^2 = 144$$ $$k^2 = \frac{144}{12}$$ $$k^2 = 12$$ $$k = \pm\sqrt{12}$$ $$k = \pm\sqrt{4 \cdot 3}$$ $$k = \pm2\sqrt{3}$$

Таким образом, при найденных значениях $k$ система будет иметь единственное решение.

Ответ: $k = \pm2\sqrt{3}$.