Номер 10, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 10, страница 44.

Условие.

10. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} (x-2y)^2 = 11(x-2y), \\ 2x+y = 50; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 - 4y + 3xy - 4x = 0, \\ 4x - y = 1. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x - 2y)^2 = 11(x - 2y) \\ 2x + y = 50 \end{cases} $$ Рассмотрим первое уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x - 2y$. Тогда уравнение примет вид: $$ t^2 = 11t $$ Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение: $$ t^2 - 11t = 0 $$ $$ t(t - 11) = 0 $$ Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 11$.
Вернемся к исходным переменным. Мы получаем два случая.

Случай 1: $x - 2y = 0$. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ 2x + y = 50 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $$ 2(2y) + y = 50 $$ $$ 4y + y = 50 $$ $$ 5y = 50 $$ $$ y_1 = 10 $$ Теперь найдем соответствующее значение $x$: $$ x_1 = 2y_1 = 2 \cdot 10 = 20 $$ Первое решение системы: $(20, 10)$.

Случай 2: $x - 2y = 11$. Снова решаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 11 \\ 2x + y = 50 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = 50 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x - 2(50 - 2x) = 11 $$ $$ x - 100 + 4x = 11 $$ $$ 5x = 111 $$ $$ x_2 = \frac{111}{5} = 22.2 $$ Теперь найдем соответствующее значение $y$: $$ y_2 = 50 - 2x_2 = 50 - 2 \cdot \frac{111}{5} = 50 - \frac{222}{5} = \frac{250 - 222}{5} = \frac{28}{5} = 5.6 $$ Второе решение системы: $(\frac{111}{5}, \frac{28}{5})$.

Ответ: $(20, 10)$, $(\frac{111}{5}, \frac{28}{5})$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x^2 - 4y + 3xy - 4x = 0 \\ 4x - y = 1 \end{cases} $$ Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем его члены для разложения на множители: $$ (3x^2 + 3xy) - (4x + 4y) = 0 $$ Вынесем общие множители из каждой группы: $$ 3x(x + y) - 4(x + y) = 0 $$ Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$: $$ (3x - 4)(x + y) = 0 $$ Это уравнение выполняется, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая.

Случай 1: $3x - 4 = 0$. Решаем систему: $$ \begin{cases} 3x - 4 = 0 \\ 4x - y = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения находим $x$: $$ 3x = 4 $$ $$ x_1 = \frac{4}{3} $$ Подставим это значение во второе уравнение, чтобы найти $y$: $$ 4\left(\frac{4}{3}\right) - y = 1 $$ $$ \frac{16}{3} - y = 1 $$ $$ y_1 = \frac{16}{3} - 1 = \frac{16 - 3}{3} = \frac{13}{3} $$ Первое решение системы: $(\frac{4}{3}, \frac{13}{3})$.

Случай 2: $x + y = 0$. Решаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 0 \\ 4x - y = 1 \end{cases} $$ Сложим два уравнения, чтобы исключить $y$: $$ (x + y) + (4x - y) = 0 + 1 $$ $$ 5x = 1 $$ $$ x_2 = \frac{1}{5} $$ Из первого уравнения этой системы ($x + y = 0$) находим $y$: $$ y_2 = -x_2 = -\frac{1}{5} $$ Второе решение системы: $(\frac{1}{5}, -\frac{1}{5})$.

Ответ: $(\frac{4}{3}, \frac{13}{3})$, $(\frac{1}{5}, -\frac{1}{5})$.