Номер 5, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 5, страница 41.

Условие.

5. Решите систему уравнений методом сложения:

a) $\begin{cases} x + xy = 15, \\ x - xy = -9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 74, \\ x^2 - y^2 = 24. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + xy = 15, \\ x - xy = -9; \end{cases}$

Для решения системы методом сложения, сложим почленно левые и правые части уравнений. Члены $xy$ и $-xy$ взаимно уничтожатся:

$(x + xy) + (x - xy) = 15 + (-9)$

$2x = 6$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{6}{2} = 3$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$3 + 3y = 15$

Решаем полученное уравнение относительно $y$:

$3y = 15 - 3$

$3y = 12$

$y = \frac{12}{3} = 4$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; 4)$.

Ответ: $(3; 4)$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 74, \\ x^2 - y^2 = 24. \end{cases}$

Сложим почленно первое и второе уравнения системы:

$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 74 + 24$

$2x^2 = 98$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 49$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 7$, $x_2 = -7$.

Теперь вычтем почленно второе уравнение из первого, чтобы найти $y$ (это эквивалентно сложению первого уравнения с умноженным на -1 вторым):

$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 74 - 24$

$x^2 + y^2 - x^2 + y^2 = 50$

$2y^2 = 50$

Разделим обе части на 2:

$y^2 = 25$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 5$, $y_2 = -5$.

Поскольку в уравнения входят только квадраты переменных ($x^2$ и $y^2$), любая комбинация найденных значений $x$ и $y$ будет являться решением системы. Получаем четыре пары решений:

$(7; 5)$, $(7; -5)$, $(-7; 5)$ и $(-7; -5)$.

Ответ: $(7; 5), (7; -5), (-7; 5), (-7; -5)$.