Номер 9, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 9, страница 43.

Условие.

9. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 6x + 5y = 44, \\ xy = 16; \end{cases}$ б) $\begin{cases} 3x + 4y = 35, \\ xy = 25. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 6x + 5y = 44, \\ xy = 16. \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x. Так как $xy=16$, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

$y = \frac{16}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$6x + 5 \left(\frac{16}{x}\right) = 44$

$6x + \frac{80}{x} = 44$

Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от знаменателя:

$6x^2 + 80 = 44x$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$6x^2 - 44x + 80 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3x^2 - 22x + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = 2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого x, используя формулу $y = \frac{16}{x}$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{16}{4} = 4$.

Если $x_2 = \frac{10}{3}$, то $y_2 = \frac{16}{10/3} = 16 \cdot \frac{3}{10} = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар (x; y).

Ответ: $(4; 4)$, $(\frac{10}{3}; \frac{24}{5})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 4y = 35, \\ xy = 25. \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим y (при условии, что $x \neq 0$):

$y = \frac{25}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x + 4 \left(\frac{25}{x}\right) = 35$

$3x + \frac{100}{x} = 35$

Умножим обе части на x:

$3x^2 + 100 = 35x$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 - 35x + 100 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1225 - 1200 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = 5$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

Найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = \frac{25}{x}$:

Если $x_1 = \frac{20}{3}$, то $y_1 = \frac{25}{20/3} = 25 \cdot \frac{3}{20} = \frac{75}{20} = \frac{15}{4}$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = \frac{25}{5} = 5$.

Система имеет два решения в виде пар (x; y).

Ответ: $(\frac{20}{3}; \frac{15}{4})$, $(5; 5)$.