Номер 6, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 6, страница 41.

Условие.

6. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} u^2 - v^2 + uv = 44, \\ u - 3v = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} u^2 + v^2 - 4uv = 22, \\ 2v - u = 5. \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} u^2 - v^2 + uv = 44 \\ u - 3v = 0 \end{cases} $$

Для решения этой системы уравнений применим метод подстановки. Сначала выразим переменную $u$ из второго, более простого, уравнения:

$u - 3v = 0 \implies u = 3v$

Теперь подставим полученное выражение для $u$ в первое уравнение системы:

$(3v)^2 - v^2 + (3v)v = 44$

Далее, решим полученное уравнение относительно переменной $v$. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$9v^2 - v^2 + 3v^2 = 44$

$11v^2 = 44$

Разделим обе части уравнения на 11:

$v^2 = 4$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $v$:

$v_1 = 2$ и $v_2 = -2$.

Теперь для каждого найденного значения $v$ найдем соответствующее значение $u$, используя ранее полученное выражение $u = 3v$:

1. Если $v_1 = 2$, то $u_1 = 3 \cdot 2 = 6$.

2. Если $v_2 = -2$, то $u_2 = 3 \cdot (-2) = -6$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(6, 2), (-6, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} u^2 + v^2 - 4uv = 22 \\ 2v - u = 5 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $u$ из второго уравнения:

$2v - u = 5 \implies u = 2v - 5$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(2v - 5)^2 + v^2 - 4(2v - 5)v = 22$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$(4v^2 - 20v + 25) + v^2 - (8v^2 - 20v) = 22$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4v^2 - 20v + 25 + v^2 - 8v^2 + 20v = 22$

$(4v^2 + v^2 - 8v^2) + (-20v + 20v) + 25 = 22$

$-3v^2 + 0 \cdot v + 25 = 22$

$-3v^2 + 25 = 22$

Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$-3v^2 = 22 - 25$

$-3v^2 = -3$

Разделим обе части на -3:

$v^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для $v$:

$v_1 = 1$ и $v_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $u$ для каждого $v$ по формуле $u = 2v - 5$:

1. Если $v_1 = 1$, то $u_1 = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$.

2. Если $v_2 = -1$, то $u_2 = 2 \cdot (-1) - 5 = -2 - 5 = -7$.

В результате получаем две пары решений.

Ответ: $(-3, 1), (-7, -1)$.