Номер 8, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 8, страница 43.

Условие.

8. Равносильны ли системы уравнений

$\begin{cases}4x - 2y = 1, \\5x^2 - y = 2\end{cases}$ и $\begin{cases}y = 2x - 0.5, \\10x^2 - y = 4?\end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Две системы уравнений называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные системы, можно преобразовать каждую из них и сравнить получившиеся уравнения или их решения.

1. Анализ и преобразование первой системы

Исходная система: $ \begin{cases} 4x - 2y = 1, \\ 5x^2 - y = 2 \end{cases} $

Выразим переменную $y$ из первого уравнения: $4x - 2y = 1$
$2y = 4x - 1$
$y = 2x - 0,5$

Это уравнение совпадает с первым уравнением второй системы. Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение первой системы, чтобы получить уравнение относительно $x$:

$5x^2 - (2x - 0,5) = 2$
$5x^2 - 2x + 0,5 = 2$
$5x^2 - 2x - 1,5 = 0$

Таким образом, решения первой системы должны удовлетворять уравнениям $y = 2x - 0,5$ и $5x^2 - 2x - 1,5 = 0$.

2. Анализ и преобразование второй системы

Исходная система: $ \begin{cases} y = 2x - 0,5, \\ 10x^2 - y = 4 \end{cases} $

Первое уравнение уже выражает $y$ через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$10x^2 - (2x - 0,5) = 4$
$10x^2 - 2x + 0,5 = 4$
$10x^2 - 2x - 3,5 = 0$

Решения второй системы должны удовлетворять уравнениям $y = 2x - 0,5$ и $10x^2 - 2x - 3,5 = 0$.

3. Сравнение и вывод

Для того чтобы системы были равносильны, они должны иметь одинаковые решения. Это было бы так, если бы уравнения для нахождения $x$, полученные из обеих систем, были равносильны. Сравним их:

Из первой системы: $5x^2 - 2x - 1,5 = 0$

Из второй системы: $10x^2 - 2x - 3,5 = 0$

Эти два уравнения не являются равносильными. Если мы умножим первое уравнение на 2, чтобы сравнить коэффициенты при $x^2$, мы получим:

$2 \cdot (5x^2 - 2x - 1,5) = 10x^2 - 4x - 3 = 0$

Полученное уравнение $10x^2 - 4x - 3 = 0$ не совпадает с уравнением из второй системы $10x^2 - 2x - 3,5 = 0$. Поскольку уравнения для нахождения $x$ различны, их решения (корни) также будут различными. Следовательно, множества решений исходных систем не совпадают.

Ответ: нет, системы уравнений не являются равносильными.