Номер 5, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

27. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 5, страница 31.

Условие.

5. При каком значении $a$ система уравнений

$\begin{cases} 6x - 2y = 7 \\ 1.2x - 0.4y = a \end{cases}$

имеет бесконечно много решений? Укажите какие-нибудь три её решения.

................

................

................

................

Ответ: $a = \dots$ решения системы: $\dots$

Решение.

Решение 2.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты одного уравнения можно получить из коэффициентов другого умножением на одно и то же число. Это равносильно условию пропорциональности коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

В нашей системе уравнений $\begin{cases} 6x - 2y = 7 \\ 1,2x - 0,4y = a \end{cases}$ коэффициенты равны: $A_1 = 6$, $B_1 = -2$, $C_1 = 7$
$A_2 = 1,2$, $B_2 = -0,4$, $C_2 = a$

Найдем отношение коэффициентов при переменных $x$ и $y$:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{6}{1,2} = \frac{60}{12} = 5$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-2}{-0,4} = \frac{20}{4} = 5$

Поскольку отношения коэффициентов при $x$ и $y$ равны 5, для того чтобы система имела бесконечное множество решений, отношение свободных членов также должно быть равно 5: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{7}{a} = 5$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $a$:
$5a = 7$
$a = \frac{7}{5}$
$a = 1,4$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, необходимо указать три каких-нибудь решения системы. При $a = 1,4$ оба уравнения системы эквивалентны и описывают одну и ту же прямую. Мы можем использовать любое из уравнений для нахождения решений. Возьмем первое, так как в нем нет десятичных дробей: $6x - 2y = 7$.

Выразим переменную $y$ через $x$:
$2y = 6x - 7$
$y = \frac{6x - 7}{2}$
$y = 3x - 3,5$

Теперь мы можем выбрать любое значение для $x$ и вычислить соответствующее значение $y$, чтобы получить пару чисел $(x; y)$, которая является решением системы.

1. Выберем $x = 1$.
$y = 3 \cdot 1 - 3,5 = 3 - 3,5 = -0,5$.
Получаем решение: $(1; -0,5)$.

2. Выберем $x = 2$.
$y = 3 \cdot 2 - 3,5 = 6 - 3,5 = 2,5$.
Получаем решение: $(2; 2,5)$.

3. Выберем $x = 0$.
$y = 3 \cdot 0 - 3,5 = 0 - 3,5 = -3,5$.
Получаем решение: $(0; -3,5)$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a = 1,4$. Примеры трех решений: $(1; -0,5)$, $(2; 2,5)$, $(0; -3,5)$.