Номер 10, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

26. Уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 10, страница 28.

Условие.

10. Постройте график уравнения:

а) $x^2 + y = 0;$

б) $xy = 3;$

в) $(x + 2)(2y - 3) = 0;$

г) $(2x - y)(x + 4) = 0.$

а) б) в) г)

Решение.

Решение 2.

а) Для построения графика уравнения $x^2 + y = 0$ выразим переменную $y$: $y = -x^2$. Это уравнение квадратичной функции, графиком которой является парабола. Она получается из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ее ветви направлены вниз. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:
- при $x = 0$, $y = 0$ (точка $(0, 0)$)
- при $x = 1$, $y = -1^2 = -1$ (точка $(1, -1)$)
- при $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$ (точка $(-1, -1)$)
- при $x = 2$, $y = -2^2 = -4$ (точка $(2, -4)$)
- при $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$ (точка $(-2, -4)$)
Соединив эти точки плавной линией, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = -x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

б) Уравнение $xy = 3$ задает обратную пропорциональность. Чтобы построить график, выразим $y$ через $x$: $y = \frac{3}{x}$. Графиком этой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=3$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами для этого графика (функция не определена при $x=0$). Найдем несколько точек для построения каждой ветви:
- для ветви в I четверти: если $x=1$, то $y=3$ (точка $(1, 3)$); если $x=3$, то $y=1$ (точка $(3, 1)$); если $x=0.5$, то $y=6$ (точка $(0.5, 6)$).
- для ветви в III четверти: если $x=-1$, то $y=-3$ (точка $(-1, -3)$); если $x=-3$, то $y=-1$ (точка $(-3, -1)$); если $x=-0.5$, то $y=-6$ (точка $(-0.5, -6)$).
Соединив точки в каждой четверти плавными кривыми, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = \frac{3}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

в) Произведение двух множителей $(x + 2)$ и $(2y - 3)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, уравнение $(x + 2)(2y - 3) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений: $x + 2 = 0$ или $2y - 3 = 0$.
Графиком первого уравнения, $x + 2 = 0 \implies x = -2$, является вертикальная прямая, проходящая через точку $(-2, 0)$ параллельно оси $Oy$.
Графиком второго уравнения, $2y - 3 = 0 \implies 2y = 3 \implies y = 1.5$, является горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 1.5)$ параллельно оси $Ox$.
Таким образом, график исходного уравнения состоит из объединения этих двух прямых.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $x = -2$ и $y = 1.5$.

г) Уравнение $(2x - y)(x + 4) = 0$ означает, что произведение двух множителей равно нулю. Это выполняется, если один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два: $2x - y = 0$ или $x + 4 = 0$.
Рассмотрим графики каждого из этих уравнений:
1) $2x - y = 0 \implies y = 2x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Для построения возьмем еще одну точку, например, при $x=1$, $y=2(1)=2$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.
2) $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$ и проходящую через точку $(-4, 0)$.
График исходного уравнения является объединением этих двух прямых.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $y = 2x$ и $x = -4$.