Номер 4, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

26. Уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 4, страница 24.

Условие.

4. Составьте какое-нибудь уравнение второй степени, решением которого является пара чисел $(-2; 8)$.

Решение.

Решение 2.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение второй степени с двумя переменными, например $x$ и $y$, для которого пара чисел $(-2; 8)$ является решением. Общий вид уравнения второй степени с двумя переменными: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$, где хотя бы один из коэффициентов $A, B, C$ не равен нулю.

Для решения задачи необходимо подобрать такие коэффициенты, чтобы при подстановке $x = -2$ и $y = 8$ в уравнение получилось верное равенство. Так как в задании требуется составить любое такое уравнение, мы можем выбрать наиболее простую его форму.

Возьмем за основу уравнение параболы вида $y = ax^2 + c$. Это уравнение является частным случаем общего уравнения второй степени (его можно записать как $ax^2 - y + c = 0$). Оно содержит член второй степени $x^2$, поэтому удовлетворяет условию.

Теперь подставим в наше уравнение $y = ax^2 + c$ заданные значения $x = -2$ и $y = 8$:

$8 = a(-2)^2 + c$

$8 = a \cdot 4 + c$

$8 = 4a + c$

Мы получили одно линейное уравнение с двумя неизвестными коэффициентами $a$ и $c$. Мы можем выбрать любое ненулевое значение для $a$ (чтобы уравнение осталось уравнением второй степени) и затем вычислить соответствующее значение $c$.

Давайте выберем самое простое значение: пусть $a = 1$. Подставим его в уравнение для коэффициентов:

$8 = 4 \cdot 1 + c$

$8 = 4 + c$

$c = 8 - 4$

$c = 4$

Таким образом, мы нашли коэффициенты: $a=1$ и $c=4$. Искомое уравнение имеет вид: $y = 1 \cdot x^2 + 4$, или просто $y = x^2 + 4$.

Проведем проверку. Подставим пару чисел $(-2; 8)$ в полученное уравнение $y = x^2 + 4$, чтобы убедиться, что оно является решением:

$8 = (-2)^2 + 4$

$8 = 4 + 4$

$8 = 8$

Равенство верное, следовательно, уравнение составлено правильно.

Ответ: $y = x^2 + 4$.