Номер 9, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 9, страница 21.

Условие.

9. Для наполнения бассейна сначала открыли одну трубу. Через 3 ч открыли ещё одну. После 5 ч совместной работы закрыли обе трубы. В результате бассейн наполнился на 75%. За какое время может наполниться бассейн через каждую трубу отдельно, если известно, что через первую трубу он может наполниться на 4 ч быстрее, чем через вторую?

Решение.

Решение 2.

Пусть весь объём бассейна равен 1. Обозначим время, за которое первая труба может наполнить бассейн, как $t_1$ часов, а вторая — как $t_2$ часов. Тогда их производительности (скорость наполнения) равны $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час соответственно.

По условию задачи, первая труба наполняет бассейн на 4 часа быстрее, чем вторая. Это означает, что $t_1 = t_2 - 4$.
Введём переменную: пусть $t_2 = x$ часов. Тогда $t_1 = x - 4$ часов. При этом время не может быть отрицательным, поэтому $x > 0$ и $x - 4 > 0$, откуда следует, что $x > 4$.
Производительности труб через переменную $x$ будут выглядеть так: $v_1 = \frac{1}{x-4}$ и $v_2 = \frac{1}{x}$.

Теперь составим уравнение на основе процесса наполнения бассейна.
Сначала первая труба работала одна в течение 3 часов. За это время она наполнила часть бассейна, равную $3 \cdot v_1 = \frac{3}{x-4}$.
Затем открыли вторую трубу, и обе трубы работали совместно еще 5 часов. За это время они наполнили часть бассейна, равную $5 \cdot (v_1 + v_2) = 5 \cdot \left(\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x}\right)$.
В результате бассейн наполнился на 75%, что составляет 0,75 или $\frac{3}{4}$ от всего объёма.
Сумма работ равна $\frac{3}{4}$:

$\frac{3}{x-4} + 5 \cdot \left(\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x}\right) = \frac{3}{4}$

Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения:

$\frac{3}{x-4} + \frac{5}{x-4} + \frac{5}{x} = \frac{3}{4}$

$\frac{8}{x-4} + \frac{5}{x} = \frac{3}{4}$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{8x + 5(x-4)}{x(x-4)} = \frac{3}{4}$

$\frac{8x + 5x - 20}{x^2 - 4x} = \frac{3}{4}$

$\frac{13x - 20}{x^2 - 4x} = \frac{3}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(13x - 20) = 3(x^2 - 4x)$

$52x - 80 = 3x^2 - 12x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 12x - 52x + 80 = 0$

$3x^2 - 64x + 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 4096 - 960 = 3136$

Найдём корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 \pm \sqrt{3136}}{2 \cdot 3} = \frac{64 \pm 56}{6}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{64 + 56}{6} = \frac{120}{6} = 20$

$x_2 = \frac{64 - 56}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $x > 4$.
Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию, так как $20 > 4$.
Корень $x_2 = \frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{4}{3} < 4$. Если бы время работы второй трубы было $\frac{4}{3}$ часа, то время работы первой трубы $t_1 = x - 4 = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$ было бы отрицательным, что невозможно.

Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 20$.
Таким образом, время наполнения бассейна второй трубой: $t_2 = x = 20$ часов.
Время наполнения бассейна первой трубой: $t_1 = x - 4 = 20 - 4 = 16$ часов.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 16 часов, а вторая — за 20 часов.