Номер 7, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 7, страница 19.

Условие.

7. В сплаве меди и свинца содержалось 12 кг меди. После того как в сплав добавили 1 кг свинца, процентное содержание свинца повысилось на 5%. Определите первоначальную массу сплава.

Решение. Пусть первоначальная масса сплава $x$ кг, в нём содержалось $(x - 12)$ кг свинца. Заполним таблицу.

Масса сплава, кг | Масса свинца, кг | Процентное содержание свинца в сплаве

Было: $x$ | $x - 12$ | $\frac{x - 12}{x} \cdot 100\%$

Стало: $x + 1$ | $x - 11$ | $\frac{x - 11}{x + 1} \cdot 100\%$

Решение.

Решение 2.

Решение.

Пусть первоначальная масса сплава равна $x$ кг. Согласно условию, в сплаве содержалось 12 кг меди. Следовательно, масса свинца в первоначальном сплаве составляла $(x - 12)$ кг.

Процентное содержание свинца в первоначальном сплаве вычисляется как отношение массы свинца к общей массе сплава, умноженное на 100%:

$\frac{x-12}{x} \cdot 100\%$

После того как в сплав добавили 1 кг свинца, общая масса сплава стала равна $(x + 1)$ кг, а масса свинца в нем увеличилась до $(x - 12) + 1 = (x - 11)$ кг.

Новое процентное содержание свинца в сплаве стало равно:

$\frac{x-11}{x+1} \cdot 100\%$

По условию, процентное содержание свинца повысилось на 5%. Это значит, что разница между новым и старым процентным содержанием составляет 5%. На основе этого составим уравнение:

$\frac{x-11}{x+1} \cdot 100 - \frac{x-12}{x} \cdot 100 = 5$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 5:

$(\frac{x-11}{x+1} - \frac{x-12}{x}) \cdot 20 = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x(x+1)$:

$20 \cdot \frac{x(x-11) - (x-12)(x+1)}{x(x+1)} = 1$

Теперь раскроем скобки в числителе дроби:

$20 \cdot \frac{(x^2 - 11x) - (x^2 - 12x + x - 12)}{x(x+1)} = 1$

$20 \cdot \frac{x^2 - 11x - (x^2 - 11x - 12)}{x(x+1)} = 1$

$20 \cdot \frac{x^2 - 11x - x^2 + 11x + 12}{x(x+1)} = 1$

После упрощения числителя получаем:

$20 \cdot \frac{12}{x(x+1)} = 1$

$\frac{240}{x^2+x} = 1$

Из этого следует квадратное уравнение:

$x^2 + x = 240$

$x^2 + x - 240 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 31}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку масса сплава не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -16$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, первоначальная масса сплава составляет 15 кг.

Проверим полученный результат:

Изначально: масса сплава 15 кг, масса свинца $15 - 12 = 3$ кг. Процент свинца: $\frac{3}{15} \cdot 100\% = 20\%$.

После добавления 1 кг свинца: масса сплава $15 + 1 = 16$ кг, масса свинца $3 + 1 = 4$ кг. Процент свинца: $\frac{4}{16} \cdot 100\% = 25\%$.

Изменение процентного содержания: $25\% - 20\% = 5\%$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 15 кг.