Номер 6, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 6, страница 18.

Условие.

6. Из двух населённых пунктов А и В вышли одновременно на-

встречу друг другу два туриста. Их встреча произошла через

3 ч. Скорость туриста, вышедшего из пункта А, на 1 км/ч

меньше скорости другого туриста. Если бы из пункта А турист

вышел на 4 ч 30 мин позже, то встреча произошла бы на рас-

стоянии 2 км от пункта А. Определите расстояние между насе-

лёнными пунктами.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть скорость туриста, вышедшего из пункта А, рав-

на $x$ км/ч, тогда скорость другого туриста — ............ км/ч, ско-

рость их сближения составляет ..................... км/ч, следовательно, расстояние между пунктами А и В равно ................... км.

Если бы из пункта А турист вышел позже на 4,5 ч, он затра-

тил бы на путь до встречи ............... ч, а другой турист затратил

бы .................. ч, что на 4,5 ч больше. Составим уравнение:

Решение.

Решение 2.

Решение.

Пусть скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна $x$ км/ч, тогда скорость другого туриста — $(x + 1)$ км/ч, скорость их сближения составляет $(2x + 1)$ км/ч, следовательно, расстояние между пунктами А и В равно $(6x + 3)$ км.

Если бы из пункта А турист вышел позже на 4,5 ч (4 ч 30 мин), он затратил бы на путь до встречи (пройдя 2 км) $\frac{2}{x}$ ч, а другой турист затратил бы $(\frac{2}{x} + 4.5)$ ч, что на 4,5 ч больше.

Составим уравнение. Во втором сценарии общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных туристами: 2 км (прошел первый турист) и расстояние, пройденное вторым туристом. Время в пути второго туриста $t_B = \frac{2}{x} + 4.5$ ч, а его скорость $v_B = x+1$ км/ч. Таким образом, расстояние, которое он прошел: $S_B = (x+1)(\frac{2}{x} + 4.5)$.

Общее расстояние $S$ также равно $S_A + S_B = 2 + (x+1)(\frac{2}{x} + 4.5)$.

Так как общее расстояние из первого условия равно $6x+3$, приравниваем два выражения для $S$:

$6x + 3 = 2 + (x+1)(\frac{2}{x} + 4.5)$

$6x + 1 = (x+1)(\frac{2 + 4.5x}{x})$

Умножим обе части уравнения на $x$ (так как скорость $x>0$):

$x(6x + 1) = (x+1)(2 + 4.5x)$

$6x^2 + x = 2x + 4.5x^2 + 2 + 4.5x$

$6x^2 + x = 4.5x^2 + 6.5x + 2$

Приведем подобные члены:

$1.5x^2 - 5.5x - 2 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$3x^2 - 11x - 4 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по формуле, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Корень $x_2 = -1/3$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость туриста из пункта А равна $x = 4$ км/ч.

Теперь найдем расстояние между пунктами А и В по формуле $S = 6x + 3$:

$S = 6 \cdot 4 + 3 = 24 + 3 = 27$ км.

Ответ: 27 км.