Номер 1, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 1, страница 15.

Условие.

1. Моторная лодка проплыла 66 км по озеру и 50 км по течению реки. На путь по озеру она затратила на 1 ч больше. Определите скорость лодки при движении по озеру, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение. Заполним таблицу.

v, км/ч

t, ч

s, км

По озеру

$x$

$\frac{66}{x}$

66

По реке

$x + 3$

$\frac{50}{x+3}$

50

Составим уравнение: $\frac{66}{x} - \frac{50}{x+3} = 1$.

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость моторной лодки при движении по озеру. Поскольку в озере нет течения, эта скорость является собственной скоростью лодки.

По озеру

Лодка прошла расстояние $s_1 = 66$ км со скоростью $v_1 = x$ км/ч. Время, затраченное на этот путь, вычисляется по формуле $t = s/v$ и составляет:
$t_1 = \frac{66}{x}$ ч.

По реке

Лодка плыла по течению, поэтому ее скорость была равна сумме собственной скорости и скорости течения реки, которая по условию равна 3 км/ч.
Скорость лодки по течению реки: $v_2 = x + 3$ км/ч.
Лодка прошла расстояние $s_2 = 50$ км. Время, затраченное на этот путь, составляет:
$t_2 = \frac{50}{x+3}$ ч.

Составление и решение уравнения

По условию задачи, на путь по озеру лодка затратила на 1 час больше, чем на путь по реке. Это можно выразить уравнением:
$t_1 - t_2 = 1$
Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:
$\frac{66}{x} - \frac{50}{x+3} = 1$

Для решения этого рационального уравнения определим область допустимых значений: скорость $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:
$\frac{66(x+3) - 50x}{x(x+3)} = 1$

Поскольку $x > 0$, знаменатель $x(x+3)$ не равен нулю, и мы можем умножить обе части уравнения на него:
$66(x+3) - 50x = x(x+3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$66x + 198 - 50x = x^2 + 3x$
$16x + 198 = x^2 + 3x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 3x - 16x - 198 = 0$
$x^2 - 13x - 198 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a=1, b=-13, c=-198$
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-198) = 169 + 792 = 961$
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 31}{2 \cdot 1} = \frac{44}{2} = 22$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 31}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

Корень $x_2 = -9$ не соответствует физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 22$.

Проверка

Если скорость лодки по озеру равна 22 км/ч, то время движения по озеру:
$t_1 = \frac{66}{22} = 3$ часа.
Скорость лодки по течению реки равна $22 + 3 = 25$ км/ч. Время движения по реке:
$t_2 = \frac{50}{25} = 2$ часа.
Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = 3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: 22 км/ч.