Номер 4, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 4, страница 17.

Условие.

4. Два автомата должны были изготовить по 240 деталей. Первый автомат изготавливал в час на 5 деталей больше, чем второй, и поэтому закончил работу на 4 ч раньше. Сколько деталей изготавливал в час каждый автомат?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливал в час второй автомат. Это его производительность. Поскольку производительность не может быть отрицательной, $x > 0$.

Согласно условию, первый автомат изготавливал в час на 5 деталей больше, чем второй. Значит, его производительность составляет $(x + 5)$ деталей в час.

Каждый автомат должен был изготовить 240 деталей. Время, необходимое для выполнения работы, находится по формуле: Время = Объем работы / Производительность.

Время работы второго автомата: $t_2 = \frac{240}{x}$ часов.

Время работы первого автомата: $t_1 = \frac{240}{x+5}$ часов.

В задаче сказано, что первый автомат закончил работу на 4 часа раньше, чем второй. Это значит, что время работы первого автомата на 4 часа меньше, чем время работы второго. Математически это можно записать так:

$t_2 - t_1 = 4$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+5} = 4$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+5} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{60(x+5) - 60x}{x(x+5)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60x + 300 - 60x}{x^2 + 5x} = 1$

$\frac{300}{x^2 + 5x} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 5x$ (мы знаем, что он не равен нулю, так как $x > 0$):

$x^2 + 5x = 300$

Перенесем 300 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1225} = 35$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку $x$ — это производительность, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, производительность второго автомата составляет 15 деталей в час.

Производительность первого автомата: $x + 5 = 15 + 5 = 20$ деталей в час.

Проверим найденное решение:
Время работы первого автомата: $\frac{240 \text{ деталей}}{20 \text{ дет/ч}} = 12$ часов.
Время работы второго автомата: $\frac{240 \text{ деталей}}{15 \text{ дет/ч}} = 16$ часов.
Разница во времени: $16 - 12 = 4$ часа. Решение верное.

Ответ: первый автомат изготавливал 20 деталей в час, второй автомат — 15 деталей в час.