Номер 10, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 10, страница 22.

Условие.

10. Сосуд ёмкостью 40 л наполнен первым веществом. Из него отлили несколько литров первого вещества и долили столько же литров второго вещества. Потом отлили столько же литров смеси. После этого в смеси, оставшейся в сосуде, оказалось 25,6 л первого вещества. Сколько литров первого вещества отлили в первый раз?

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть в первый раз отлили $x$ л первого вещества, тогда в сосуде осталось $(40 - x)$ л первого вещества.

После добавления второго вещества доля первого вещества в смеси стала $\frac{40 - x}{40}$.

Во второй раз отлили $x$ л смеси. В отлитой части содержалось $\frac{x(40 - x)}{40}$ л первого вещества. Всего за 2 раза

отлили $x + \frac{x(40 - x)}{40}$ л первого вещества.

По условию задачи в сосуде осталось 25,6 л первого вещества.

Значит, за два раза из него отлили $(40 - 25,6)$ л, т. е. $14,4$ л первого вещества.

Составим и решим уравнение:

Решение.

Решение 2.

Пусть в первый раз отлили $x$ л первого вещества, тогда в сосуде осталось $(40 - x)$ л первого вещества. После добавления второго вещества доля первого вещества в смеси стала $\frac{40 - x}{40}$. Во второй раз отлили $x$ л смеси. В отлитой части содержалось $x \cdot \frac{40 - x}{40}$ л первого вещества. Всего за 2 раза отлили $x + x \cdot \frac{40 - x}{40}$ л первого вещества.

По условию задачи в сосуде осталось 25,6 л первого вещества. Значит, за два раза из него отлили $(40 - 25,6)$ л, т. е. 14,4 л первого вещества.

Составим и решим уравнение:

Сумма первого вещества, отлитого за два раза, равна 14,4 л:

$x + x \cdot \frac{40 - x}{40} = 14,4$

Вынесем $x$ за скобки:

$x \cdot (1 + \frac{40 - x}{40}) = 14,4$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$x \cdot (\frac{40 + 40 - x}{40}) = 14,4$

$x \cdot \frac{80 - x}{40} = 14,4$

Умножим обе части уравнения на 40:

$x(80 - x) = 14,4 \cdot 40$

$80x - x^2 = 576$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 80x + 576 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 6400 - 2304 = 4096$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 + \sqrt{4096}}{2} = \frac{80 + 64}{2} = \frac{144}{2} = 72$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 - \sqrt{4096}}{2} = \frac{80 - 64}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Корень $x_1 = 72$ не удовлетворяет условию задачи, так как из сосуда объемом 40 л невозможно отлить 72 л жидкости. Следовательно, единственным решением, имеющим физический смысл, является $x=8$.

Ответ: 8 л.