Номер 5, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

26. Уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 5, страница 24.

Условие.

5. Постройте график уравнения:

а) $0x + 2y = 3;$

б) $x - y = 2;$

в) $|x| = 4;$

г) $(x - 1)(y + 3) = 0.$

Укажите координаты двух каких-либо точек, принадлежащих этому графику.

Решение.

Решение 2.

а) $0x + 2y = 3$

Упростим данное уравнение. Так как произведение $0 \cdot x$ равно нулю для любого значения $x$, уравнение можно переписать в виде $2y = 3$. Разделив обе части уравнения на 2, получаем $y = \frac{3}{2}$ или $y = 1.5$. Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox) и пересекает ось ординат (ось Oy) в точке $1.5$. Для любой точки на этой прямой координата $y$ всегда равна $1.5$.
Чтобы указать координаты двух точек, принадлежащих графику, можно выбрать любые два значения для $x$.
1. Если $x = 0$, то $y = 1.5$. Получаем точку с координатами $(0; 1.5)$.
2. Если $x = 3$, то $y = 1.5$. Получаем точку с координатами $(3; 1.5)$.
Ответ: $(0; 1.5)$ и $(3; 1.5)$.

б) $x - y = 2$

Это линейное уравнение с двумя переменными, его график — прямая линия. Для удобства построения выразим переменную $y$ через $x$:
$x - y = 2 \implies -y = 2 - x \implies y = x - 2$.
Для построения прямой необходимо и достаточно найти координаты двух любых ее точек. Часто для этого находят точки пересечения с осями координат.
1. Найдем точку пересечения с осью Oy. Для этого примем $x = 0$:
$y = 0 - 2 = -2$. Координаты первой точки: $(0; -2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью Ox. Для этого примем $y = 0$:
$0 = x - 2$, откуда $x = 2$. Координаты второй точки: $(2; 0)$.
Графиком является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: $(0; -2)$ и $(2; 0)$.

в) $|x| = 4$

Уравнение $|x| = 4$ означает, что расстояние от точки на числовой прямой до нуля равно 4. Это выполняется для двух значений: $x = 4$ и $x = -4$. Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение графиков двух прямых:
1. $x = 4$ — это вертикальная прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку $(4; 0)$. Для всех точек этой прямой абсцисса равна 4.
2. $x = -4$ — это вертикальная прямая, параллельная оси Oy и проходящая через точку $(-4; 0)$. Для всех точек этой прямой абсцисса равна -4.
Выберем по одной точке на каждой из этих прямых.
1. На прямой $x=4$ выберем точку с ординатой $y=1$. Координаты: $(4; 1)$.
2. На прямой $x=-4$ выберем точку с ординатой $y=3$. Координаты: $(-4; 3)$.
Ответ: $(4; 1)$ и $(-4; 3)$.

г) $(x - 1)(y + 3) = 0$

Произведение двух выражений равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x - 1 = 0$ или $y + 3 = 0$.
Решая каждое из них, получаем:
$x = 1$
$y = -3$
График уравнения $(x - 1)(y + 3) = 0$ является объединением графиков этих двух уравнений:
1. $x = 1$ — это вертикальная прямая, параллельная оси Oy.
2. $y = -3$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox.
График представляет собой две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $(1; -3)$.
Выберем две точки, принадлежащие этому графику.
1. Возьмем точку на прямой $x=1$, например, с $y=2$. Координаты: $(1; 2)$.
2. Возьмем точку на прямой $y=-3$, например, с $x=0$. Координаты: $(0; -3)$.
Ответ: $(1; 2)$ и $(0; -3)$.