Номер 3, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

26. Уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 3, страница 24.

Условие.

3. Определите степень уравнения:

a) $3x^2 - 4y^5 + 6 = 5x(xy^3 - 1) - x^3;$

б) $(x + 2y)^2 - 4y^2 - 3x^3y + 3x(x^2y + 1) = 0.$

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить степень уравнения, необходимо сначала привести его к стандартному виду, то есть раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. Степенью уравнения с несколькими переменными, приведенного к виду $P(x, y, ...) = 0$, где $P$ — многочлен, называется наибольшая из степеней его членов. Степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

а) $3x^2 - 4y^5 + 6 = 5x(xy^3 - 1) - x^3$

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x(xy^3 - 1) = 5x \cdot xy^3 - 5x \cdot 1 = 5x^2y^3 - 5x$

Уравнение примет вид:

$3x^2 - 4y^5 + 6 = 5x^2y^3 - 5x - x^3$

2. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить многочлен, равный нулю:

$3x^2 - 4y^5 + 6 - 5x^2y^3 + 5x + x^3 = 0$

3. Определим степень каждого члена полученного многочлена:

• Степень члена $-5x^2y^3$ равна $2 + 3 = 5$.
• Степень члена $-4y^5$ равна $5$.
• Степень члена $x^3$ равна $3$.
• Степень члена $3x^2$ равна $2$.
• Степень члена $5x$ равна $1$.
• Степень члена $6$ (свободный член) равна $0$.

4. Наибольшая из степеней членов равна 5. Следовательно, степень данного уравнения — 5.

Ответ: 5.

б) $(x + 2y)^2 - 4y^2 - 3x^3y + 3x(x^2y + 1) = 0$

1. Раскроем скобки в уравнении. Сначала возведем в квадрат по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x + 2y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$

Затем раскроем вторые скобки:

$3x(x^2y + 1) = 3x \cdot x^2y + 3x \cdot 1 = 3x^3y + 3x$

2. Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

$(x^2 + 4xy + 4y^2) - 4y^2 - 3x^3y + (3x^3y + 3x) = 0$

3. Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4xy + (4y^2 - 4y^2) + (-3x^3y + 3x^3y) + 3x = 0$

Члены $4y^2$ и $-4y^2$ взаимно уничтожаются. Члены $-3x^3y$ и $3x^3y$ также взаимно уничтожаются. Уравнение упрощается до вида:

$x^2 + 4xy + 3x = 0$

4. Определим степень каждого члена полученного многочлена:

• Степень члена $x^2$ равна $2$.
• Степень члена $4xy$ (т.е. $4x^1y^1$) равна $1 + 1 = 2$.
• Степень члена $3x$ равна $1$.

5. Наибольшая из степеней членов равна 2. Следовательно, степень данного уравнения — 2.

Ответ: 2.