Номер 8, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 8, страница 20.

Условие.

8. К некоторому количеству сплава железа с никелем, содержащему 4 кг никеля, добавили 2 кг никеля, в результате чего процентное содержание железа в сплаве понизилось на 10%. Определите первоначальную массу сплава.

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

	Масса сплава, кг	Масса железа, кг	Процентное содержание железа в сплаве
Было
Стало

Составим и решим уравнение:

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это первоначальная масса сплава.По условию, в этом сплаве содержалось 4 кг никеля. Следовательно, масса железа в первоначальном сплаве составляла $(x-4)$ кг.

Процентное содержание железа в первоначальном сплаве равно отношению массы железа к общей массе сплава, умноженному на 100%:

$P_1 = \frac{x-4}{x} \cdot 100\%$

После того, как к сплаву добавили 2 кг никеля, его общая масса стала $(x+2)$ кг. Масса железа при этом не изменилась и осталась равной $(x-4)$ кг.Новое процентное содержание железа в сплаве стало:

$P_2 = \frac{x-4}{x+2} \cdot 100\%$

Заполним таблицу по условию задачи.

	Масса сплава, кг	Масса железа, кг	Процентное содержание железа в сплаве
Было	$x$	$x-4$	$\frac{x-4}{x} \cdot 100\%$
Стало	$x+2$	$x-4$	$\frac{x-4}{x+2} \cdot 100\%$

Составим и решим уравнение:

По условию, процентное содержание железа понизилось на 10%. Это означает, что разница между первоначальным и конечным процентным содержанием составляет 10 процентных пунктов.

$P_1 - P_2 = 10$

$\frac{x-4}{x} \cdot 100 - \frac{x-4}{x+2} \cdot 100 = 10$

Разделим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot \frac{x-4}{x} - 10 \cdot \frac{x-4}{x+2} = 1$

Вынесем общий множитель $10(x-4)$ за скобки:

$10(x-4) \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x(x+2)$:

$10(x-4) \left( \frac{x+2 - x}{x(x+2)} \right) = 1$

$10(x-4) \left( \frac{2}{x(x+2)} \right) = 1$

$\frac{20(x-4)}{x^2+2x} = 1$

Так как масса сплава $x$ должна быть больше 4 кг (чтобы масса железа была положительной), то $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Можем умножить обе части на знаменатель:

$20(x-4) = x^2+2x$

$20x - 80 = x^2 + 2x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 2x - 20x + 80 = 0$

$x^2 - 18x + 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно 80. Этим условиям удовлетворяют числа 8 и 10.

$x_1 = 8$, $x_2 = 10$

Оба корня удовлетворяют условию $x > 4$. Проверим оба решения.

Проверка для $x=8$ кг: Первоначальная масса железа: $8 - 4 = 4$ кг. Первоначальное процентное содержание железа: $\frac{4}{8} \cdot 100\% = 50\%$. Новая масса сплава: $8 + 2 = 10$ кг. Новое процентное содержание железа: $\frac{4}{10} \cdot 100\% = 40\%$. Понижение составило: $50\% - 40\% = 10\%$. Решение верное.

Проверка для $x=10$ кг: Первоначальная масса железа: $10 - 4 = 6$ кг. Первоначальное процентное содержание железа: $\frac{6}{10} \cdot 100\% = 60\%$. Новая масса сплава: $10 + 2 = 12$ кг. Новое процентное содержание железа: $\frac{6}{12} \cdot 100\% = 50\%$. Понижение составило: $60\% - 50\% = 10\%$. Решение также верное.

Оба найденных значения являются решениями задачи.

Ответ: 8 кг или 10 кг.