Номер 5, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

25. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 5, страница 18.

Условие.

5. Расстояние между речными пристанями А и В равно 24 км. Катер прошёл от пристани А к пристани В и вернулся обратно, затратив на весь путь 2 ч 42 мин. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$.

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).

Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Тогда скорость катера при движении по течению равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера при движении против течения — $(x - 2)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Расстояние между пристанями A и B равно 24 км.

Время, которое катер затратил на путь по течению, можно найти по формуле $t = S/v$:

$t_1 = \frac{24}{x + 2}$ ч.

Время, которое катер затратил на обратный путь против течения:

$t_2 = \frac{24}{x - 2}$ ч.

Общее время в пути составляет 2 ч 42 мин. Для расчетов необходимо перевести это время в часы:

$2 \text{ ч } 42 \text{ мин } = 2 + \frac{42}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{7}{10} \text{ ч } = 2,7 \text{ ч } = \frac{27}{10}$ ч.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени в пути. Составим и решим уравнение:

$\frac{24}{x + 2} + \frac{24}{x - 2} = \frac{27}{10}$

Вынесем общий множитель 24 в левой части:

$24 \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} \right) = \frac{27}{10}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:

$24 \left( \frac{(x - 2) + (x + 2)}{x^2 - 4} \right) = \frac{27}{10}$

$24 \left( \frac{2x}{x^2 - 4} \right) = \frac{27}{10}$

$\frac{48x}{x^2 - 4} = \frac{27}{10}$

Можно разделить обе части уравнения на 3 для упрощения:

$\frac{16x}{x^2 - 4} = \frac{9}{10}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$16x \cdot 10 = 9 \cdot (x^2 - 4)$

$160x = 9x^2 - 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$9x^2 - 160x - 36 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896$

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164$

$x_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18$

$x_2 = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.