Номер 11, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 11, страница 12.

Условие.

11. Найдите значения переменной z, при которых:

а) сумма дробей $ \frac{z-2}{z+1} $ и $ \frac{z-3}{z-1} $ равна их произведению;

б) разность дробей $ \frac{3z-1}{z+1} $ и $ \frac{z-1}{3z+1} $ равна их произведению.

Решение.

Решение 2.

а)

Согласно условию, сумма дробей $\frac{z-2}{z+1}$ и $\frac{z-3}{z-1}$ равна их произведению. Составим уравнение:

$\frac{z-2}{z+1} + \frac{z-3}{z-1} = \frac{z-2}{z+1} \cdot \frac{z-3}{z-1}$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $z$ определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю: $z+1 \neq 0$ и $z-1 \neq 0$. Следовательно, $z \neq -1$ и $z \neq 1$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(z+1)(z-1) = z^2-1$:

$\frac{(z-2)(z-1) + (z-3)(z+1)}{(z+1)(z-1)} = \frac{(z^2 - z - 2z + 2) + (z^2 + z - 3z - 3)}{z^2-1} = \frac{z^2 - 3z + 2 + z^2 - 2z - 3}{z^2-1} = \frac{2z^2 - 5z - 1}{z^2-1}$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$\frac{(z-2)(z-3)}{(z+1)(z-1)} = \frac{z^2 - 3z - 2z + 6}{z^2-1} = \frac{z^2 - 5z + 6}{z^2-1}$

Теперь приравняем полученные выражения:

$\frac{2z^2 - 5z - 1}{z^2-1} = \frac{z^2 - 5z + 6}{z^2-1}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$2z^2 - 5z - 1 = z^2 - 5z + 6$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2z^2 - z^2 - 5z + 5z - 1 - 6 = 0$

$z^2 - 7 = 0$

$z^2 = 7$

$z = \pm\sqrt{7}$

Оба корня, $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$, не равны $1$ или $-1$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $z = \sqrt{7}$, $z = -\sqrt{7}$.

б)

Согласно условию, разность дробей $\frac{3z-1}{z+1}$ и $\frac{z-1}{3z+1}$ равна их произведению. Составим уравнение:

$\frac{3z-1}{z+1} - \frac{z-1}{3z+1} = \frac{3z-1}{z+1} \cdot \frac{z-1}{3z+1}$

ОДЗ: $z+1 \neq 0 \implies z \neq -1$ и $3z+1 \neq 0 \implies z \neq -\frac{1}{3}$.

Преобразуем левую часть, приведя к общему знаменателю $(z+1)(3z+1)$:

$\frac{(3z-1)(3z+1) - (z-1)(z+1)}{(z+1)(3z+1)}$

Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, упростим числитель:

$\frac{(9z^2 - 1) - (z^2 - 1)}{(z+1)(3z+1)} = \frac{9z^2 - 1 - z^2 + 1}{(z+1)(3z+1)} = \frac{8z^2}{(z+1)(3z+1)}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{(3z-1)(z-1)}{(z+1)(3z+1)} = \frac{3z^2 - 3z - z + 1}{(z+1)(3z+1)} = \frac{3z^2 - 4z + 1}{(z+1)(3z+1)}$

Приравняем левую и правую части:

$\frac{8z^2}{(z+1)(3z+1)} = \frac{3z^2 - 4z + 1}{(z+1)(3z+1)}$

Приравниваем числители, так как знаменатели равны и не обращаются в ноль на ОДЗ:

$8z^2 = 3z^2 - 4z + 1$

Получаем квадратное уравнение:

$8z^2 - 3z^2 + 4z - 1 = 0$

$5z^2 + 4z - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($z \neq -1$ и $z \neq -\frac{1}{3}$).

Корень $z_1 = \frac{1}{5}$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $z_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $z+1$ обращается в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $z = \frac{1}{5}$.