Номер 4, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 4, страница 6.

Условие.

4. При каких значениях z значения дробей:

a) $\frac{8}{z^2+8}$ и $\frac{7}{11-2z^2}$ являются противоположными числами;

б) $\frac{5}{2z^2-3}$ и $\frac{z^2-2}{2}$ являются взаимно обратными числами?

Решение.

Решение 2.

a)

Два числа являются противоположными, если их сумма равна нулю. Следовательно, для нахождения значений $z$, при которых дроби $\frac{8}{z^2+8}$ и $\frac{7}{11-2z^2}$ являются противоположными числами, необходимо решить уравнение:

$\frac{8}{z^2+8} + \frac{7}{11-2z^2} = 0$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $z$. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

1) $z^2+8 \neq 0$. Так как $z^2 \ge 0$ для любого действительного $z$, то $z^2+8 \ge 8$. Этот знаменатель никогда не равен нулю.

2) $11-2z^2 \neq 0 \implies 2z^2 \neq 11 \implies z^2 \neq \frac{11}{2} \implies z \neq \pm\sqrt{\frac{11}{2}}$.

Теперь решим уравнение. Перенесем одну дробь в правую часть уравнения:

$\frac{8}{z^2+8} = -\frac{7}{11-2z^2}$

Внесем минус в знаменатель правой дроби:

$\frac{8}{z^2+8} = \frac{7}{-(11-2z^2)} = \frac{7}{2z^2-11}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$8(2z^2 - 11) = 7(z^2 + 8)$

Раскроем скобки:

$16z^2 - 88 = 7z^2 + 56$

Перенесем члены с $z^2$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$16z^2 - 7z^2 = 56 + 88$

$9z^2 = 144$

$z^2 = \frac{144}{9}$

$z^2 = 16$

Отсюда находим значения $z$:

$z = \pm\sqrt{16}$

$z_1 = 4$, $z_2 = -4$

Полученные значения удовлетворяют ОДЗ, так как $z^2 = 16 \neq \frac{11}{2}$.

Ответ: $z = 4$ или $z = -4$.

б)

Два числа являются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Следовательно, для нахождения значений $z$, при которых дроби $\frac{5}{2z^2-3}$ и $\frac{z^2-2}{2}$ являются взаимно обратными числами, необходимо решить уравнение:

$\frac{5}{2z^2-3} \cdot \frac{z^2-2}{2} = 1$

Определим ОДЗ. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Также, для существования обратных чисел, сами дроби не должны быть равны нулю (что означает, что их числители не должны быть равны нулю).

1) $2z^2-3 \neq 0 \implies 2z^2 \neq 3 \implies z^2 \neq \frac{3}{2} \implies z \neq \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$.

2) Знаменатель второй дроби равен 2, он не равен нулю.

3) Числитель первой дроби равен 5, он не равен нулю.

4) $z^2-2 \neq 0 \implies z^2 \neq 2 \implies z \neq \pm\sqrt{2}$.

Теперь решим уравнение:

$\frac{5(z^2-2)}{2(2z^2-3)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $2(2z^2-3)$, учитывая, что он не равен нулю в ОДЗ:

$5(z^2 - 2) = 2(2z^2 - 3)$

Раскроем скобки:

$5z^2 - 10 = 4z^2 - 6$

Перенесем члены с $z^2$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$5z^2 - 4z^2 = -6 + 10$

$z^2 = 4$

Отсюда находим значения $z$:

$z = \pm\sqrt{4}$

$z_1 = 2$, $z_2 = -2$

Полученные значения удовлетворяют ОДЗ, так как $z^2 = 4 \neq \frac{3}{2}$ и $z^2 = 4 \neq 2$.

Ответ: $z = 2$ или $z = -2$.