Номер 2, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Решение дробных рациональных уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 2, страница 5.

Условие.

2. Найдите корни уравнения:

$\frac{2+3z}{1-3z} = \frac{5+3z}{z+9}$; $(3+2z)(z+9) = (1-3z)(5+3z)$;

$3z + 27 + 2z^2 + 18z = 5 + 3z - 15z - 9z^2$;

$11z^2 + 33z + 22 = 0$; $z^2 + 3z + 2 = 0$; $z_1 = -2$; $z_2 = -1$.

Если $z = -2$, то $(1 - 3z)(z + 9) \neq 0$;

если $z = -1$, то $(1 - 3z)(z + 9) \neq 0$

Значит, $-2$ и $-1$ - корни данного уравнения.

Ответ: $-2$; $-1$.

a) $\frac{2x-3}{x+5} = \frac{4x-9}{3x-1}$;

б) $\frac{4y-7}{y+2} = \frac{2y-11}{y-6}$.

Решение.

Решение 2.

а)

Дано уравнение: $ \frac{2x - 3}{x + 5} = \frac{4x - 9}{3x - 1} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$ x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5 $

$ 3x - 1 \neq 0 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{3} $

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ (2x - 3)(3x - 1) = (4x - 9)(x + 5) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 6x^2 - 2x - 9x + 3 = 4x^2 + 20x - 9x - 45 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 6x^2 - 11x + 3 = 4x^2 + 11x - 45 $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ 6x^2 - 4x^2 - 11x - 11x + 3 + 45 = 0 $

$ 2x^2 - 22x + 48 = 0 $

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$ x^2 - 11x + 24 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 24. Это числа 3 и 8.

$ x_1 = 3, x_2 = 8 $

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня (3 и 8) не равны -5 и $ \frac{1}{3} $. Следовательно, оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 3; 8.

б)

Дано уравнение: $ \frac{4y - 7}{y + 2} = \frac{2y - 11}{y - 6} $

Область допустимых значений (ОДЗ):

$ y + 2 \neq 0 \implies y \neq -2 $

$ y - 6 \neq 0 \implies y \neq 6 $

Применим перекрестное умножение:

$ (4y - 7)(y - 6) = (2y - 11)(y + 2) $

Раскроем скобки:

$ 4y^2 - 24y - 7y + 42 = 2y^2 + 4y - 11y - 22 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4y^2 - 31y + 42 = 2y^2 - 7y - 22 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 4y^2 - 2y^2 - 31y + 7y + 42 + 22 = 0 $

$ 2y^2 - 24y + 64 = 0 $

Разделим обе части на 2:

$ y^2 - 12y + 32 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 12, произведение равно 32. Это числа 4 и 8.

$ y_1 = 4, y_2 = 8 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Оба корня (4 и 8) не равны -2 и 6. Значит, оба являются решениями.

Ответ: 4; 8.