Номер 5, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 5, страница 127.

Условие.

5. Сократите дробь и найдите её значение при указанном значении переменной:

а) $\frac{a^2 - 25}{a^2 + 2a - 35}$ при $a=-2,5$;

...................

...................

б) $\frac{12 + 11b - b^2}{96 + 4b - b^2}$ при $b=\frac{2}{3}$;

Решение.

Решение 2.

a) Дана дробь $\frac{a^2 - 25}{a^2 + 2a - 35}$ при $a = -2,5$.

Сначала сократим дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $a^2 - 25$ является разностью квадратов: $a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a - 5)(a + 5)$.

Знаменатель $a^2 + 2a - 35$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $a^2 + 2a - 35 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-35$. Подбором находим корни: $a_1 = 5$ и $a_2 = -7$. Таким образом, разложение на множители имеет вид: $a^2 + 2a - 35 = (a - 5)(a - (-7)) = (a - 5)(a + 7)$.

Теперь подставим разложения в исходную дробь: $\frac{(a - 5)(a + 5)}{(a - 5)(a + 7)}$.

Сократим общий множитель $(a - 5)$ (при условии, что $a \neq 5$): $\frac{a + 5}{a + 7}$.

Теперь найдем значение выражения при $a = -2,5$: $\frac{-2,5 + 5}{-2,5 + 7} = \frac{2,5}{4,5} = \frac{25}{45} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

б) Дана дробь $\frac{12 + 11b - b^2}{96 + 4b - b^2}$ при $b = \frac{2}{3}$.

Сначала сократим дробь. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для удобства вынесем $-1$ за скобки.

Числитель: $12 + 11b - b^2 = -(b^2 - 11b - 12)$. Найдем корни уравнения $b^2 - 11b - 12 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения: $b = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{11 \pm 13}{2}$. Корни: $b_1 = \frac{11 + 13}{2} = 12$ и $b_2 = \frac{11 - 13}{2} = -1$. Следовательно, разложение числителя: $-(b - 12)(b - (-1)) = -(b - 12)(b + 1) = (12 - b)(b + 1)$.

Знаменатель: $96 + 4b - b^2 = -(b^2 - 4b - 96)$. Найдем корни уравнения $b^2 - 4b - 96 = 0$. $b = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{4 \pm 20}{2}$. Корни: $b_1 = \frac{4 + 20}{2} = 12$ и $b_2 = \frac{4 - 20}{2} = -8$. Следовательно, разложение знаменателя: $-(b - 12)(b - (-8)) = -(b - 12)(b + 8) = (12 - b)(b + 8)$.

Подставим разложения в дробь: $\frac{(12 - b)(b + 1)}{(12 - b)(b + 8)}$.

Сократим общий множитель $(12 - b)$ (при условии, что $b \neq 12$): $\frac{b + 1}{b + 8}$.

Теперь найдем значение выражения при $b = \frac{2}{3}$: $\frac{\frac{2}{3} + 1}{\frac{2}{3} + 8} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{24}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{26}{3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{26} = \frac{5}{26}$.

Ответ: $\frac{5}{26}$.