Номер 18, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 18, страница 124.

Условие.

18. Из всех прямоугольных треугольников, сумма катетов которых равна 18 см, выделите треугольник с наибольшей площадью.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи нам нужно найти параметры прямоугольного треугольника, при которых его площадь будет максимальной, при условии, что сумма длин его катетов является постоянной величиной.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, их сумма составляет 18 см:

$a + b = 18$

Площадь $S$ прямоугольного треугольника определяется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} a \cdot b$

Чтобы найти максимальное значение площади, мы можем выразить один из катетов через другой и исследовать полученную функцию площади.

Из условия $a + b = 18$ выразим $b$:

$b = 18 - a$

Так как длины сторон треугольника должны быть положительными, то $a > 0$ и $b > 0$. Из $b > 0$ следует $18 - a > 0$, что означает $a < 18$. Таким образом, мы ищем решение для $a$ в интервале $(0, 18)$.

Подставим выражение для $b$ в формулу площади:

$S(a) = \frac{1}{2} a (18 - a) = 9a - \frac{1}{2}a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a)$, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсциссу вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$. В нашем случае функция $S(a) = -\frac{1}{2}a^2 + 9a$, где $k = -\frac{1}{2}$ и $l = 9$.

Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ максимальна:

$a_0 = -\frac{9}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{9}{-1} = 9$

Это значение $a = 9$ находится в допустимом интервале $(0, 18)$.

Теперь найдем длину второго катета $b$:

$b = 18 - a = 18 - 9 = 9$

Таким образом, наибольшую площадь имеет треугольник, у которого оба катета равны 9 см. Это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Максимальная площадь при этом равна:

$S_{max} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = \frac{81}{2} = 40.5 \text{ см}^2$

Альтернативный метод с использованием неравенства о средних

Для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство Коши (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом):

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Равенство достигается только тогда, когда $a = b$.

Подставим в неравенство известную сумму катетов $a+b=18$:

$\frac{18}{2} \geq \sqrt{ab}$

$9 \geq \sqrt{ab}$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$81 \geq ab$

Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab$. Отсюда следует:

$S \leq \frac{81}{2}$

Максимальное значение площади $S$ достигается, когда в неравенстве Коши выполняется равенство, то есть при $a=b$. Учитывая условие $a+b=18$, получаем $2a=18$, что дает $a=9$ см и, соответственно, $b=9$ см.

Ответ: Треугольник с наибольшей площадью — это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной 9 см каждый.