Номер 11, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 11, страница 122.

Условие.

11. Один из корней квадратного трёхчлена $4cx^2 + 3x + 2c - 12$ равен 1. Определите значение $c$ и второй корень этого трёхчлена.

Решение.

Решение 2.

Дан квадратный трёхчлен $4cx^2 + 3x + 2c - 12$.

Определение значения c

По определению, корень многочлена — это значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. По условию, один из корней равен 1. Это означает, что если подставить $x=1$ в трёхчлен, он обратится в ноль.

Подставим $x=1$ в выражение и приравняем его к нулю:
$4c(1)^2 + 3(1) + 2c - 12 = 0$

Выполним вычисления и упростим полученное уравнение:
$4c \cdot 1 + 3 + 2c - 12 = 0$
$4c + 3 + 2c - 12 = 0$

Приведём подобные слагаемые:
$(4c + 2c) + (3 - 12) = 0$
$6c - 9 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $c$:
$6c = 9$
$c = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Ответ: $c = \frac{3}{2}$.

Определение второго корня

Теперь, когда мы знаем значение $c$, подставим его в исходный трёхчлен, чтобы получить конкретное квадратное уравнение:
$4\left(\frac{3}{2}\right)x^2 + 3x + 2\left(\frac{3}{2}\right) - 12 = 0$

Упростим коэффициенты:
$6x^2 + 3x + 3 - 12 = 0$
$6x^2 + 3x - 9 = 0$

Мы уже знаем один корень $x_1 = 1$. Для нахождения второго корня $x_2$ можно воспользоваться теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $\frac{d}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты: $a=6$, $b=3$, $d=-9$.
Найдём произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{d}{a} = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2}$

Подставим известный корень $x_1 = 1$ в это равенство и найдём $x_2$:
$1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$
$x_2 = -\frac{3}{2}$

Ответ: второй корень равен $-\frac{3}{2}$.