Номер 9, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Квадратный трёхчлен и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Часть 1 - номер 9, страница 121.

Условие.

9. Составьте какой-либо квадратный трёхчлен, корни которого:

а) противоположны;

б) обратны корням трёхчлена $2x^2 - 11x + 5$.

Решение.

Решение 2.

а)

Квадратный трёхчлен в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

По условию, корни трёхчлена являются противоположными числами. Обозначим эти корни как $x_1$ и $x_2$. Тогда по определению противоположных чисел, $x_1 = -x_2$ или, что то же самое, $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $-b/a$.

Так как сумма наших корней равна нулю, то должно выполняться равенство:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 0$

Это равенство верно, когда $b=0$ (поскольку $a \neq 0$).

Также, для существования действительных корней (кроме случая $x=0$), произведение корней $x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot (-x_1) = -x_1^2$ должно быть отрицательным. По теореме Виета, произведение корней равно $c/a$. Следовательно, $c/a$ должно быть меньше нуля ($c/a < 0$), что означает, что коэффициенты $a$ и $c$ должны иметь разные знаки.

Таким образом, нам нужно составить любой квадратный трёхчлен вида $ax^2 + c$, где $a$ и $c$ имеют противоположные знаки.

Например, выберем $a=1$ и $c=-25$.

Получаем трёхчлен $x^2 - 25$. Его корни находятся из уравнения $x^2 - 25 = 0$, откуда $x^2 = 25$, и корни $x_1=5$ и $x_2=-5$. Эти корни являются противоположными числами.

Ответ: $x^2 - 25$ (или любой другой трёхчлен вида $ax^2 + c$, где $a \cdot c < 0$, например, $x^2 - 4$ или $3x^2 - 12$).

б)

Сначала найдём корни заданного трёхчлена $2x^2 - 11x + 5$. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение:

$2x^2 - 11x + 5 = 0$

Найдём дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корни исходного трёхчлена равны $5$ и $\frac{1}{2}$.

По условию, корни искомого трёхчлена, назовём их $x'_1$ и $x'_2$, должны быть обратны корням данного трёхчлена. Это значит:

$x'_1 = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{5}$

$x'_2 = \frac{1}{x_2} = \frac{1}{1/2} = 2$

Теперь мы можем составить новый квадратный трёхчлен, зная его корни. Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Для приведённого квадратного трёхчлена $x^2+px+q=0$ его коэффициенты связаны с корнями так:

$p = -(x'_1 + x'_2) = -(\frac{1}{5} + 2) = -(\frac{1}{5} + \frac{10}{5}) = -\frac{11}{5}$

$q = x'_1 \cdot x'_2 = \frac{1}{5} \cdot 2 = \frac{2}{5}$

Таким образом, приведённый квадратный трёхчлен имеет вид: $x^2 - \frac{11}{5}x + \frac{2}{5}$.

Чтобы получить трёхчлен с целыми коэффициентами, мы можем умножить его на любое число, отличное от нуля. Умножим на 5, чтобы избавиться от знаменателей:

$5 \cdot (x^2 - \frac{11}{5}x + \frac{2}{5}) = 5x^2 - 11x + 2$

Примечание: Существует общее правило: если корни трёхчлена $ax^2 + bx + c$ являются $x_1$ и $x_2$, то трёхчлен с обратными корнями $1/x_1$ и $1/x_2$ будет иметь вид $cx^2 + bx + a$. В нашем случае для $2x^2 - 11x + 5$ ($a=2, c=5$) новый трёхчлен будет $5x^2 - 11x + 2$, что совпадает с полученным результатом.

Ответ: $5x^2 - 11x + 2$.